高考大题纵横练(二)1．(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求T的概率分布与均值E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解(1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的概率分布为T25303540P0.20.30.40.1从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T1，T2分别表示往，返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二P()＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－P()＝0.91.2．(2016·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2B＝bsinA.(1)求B；(2)若cosA＝，求sinC的值．解(1)在△ABC中，由＝，可得asinB＝bsinA.又由asin2B＝bsinA，得2asinBcosB＝bsinA＝asinB，所以cosB＝，所以B＝.(2)由cosA＝，可得sinA＝，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin＝sinA＋cosA＝.3．(2016·四川)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：因为AD∥BC，BC＝AD.所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB.所以CM∥平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD，从而PA⊥BD.连结BM，因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，所以BC∥MD，且BC＝MD.所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.4．数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6a1，且对n∈N*，点(n，an)恒在直线f(x)＝2x＋k上，其中k为常数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Tn＝＋＋…＋，求T20的值．解(1)方法一依题意an＝2n＋k，得a1＝2＋k，a2＝4＋k，a3＝6＋k，所以S3＝12＋3k.又S3＝6a1，所以12＋3k＝12＋6k，解得k＝0.即an＝2n.方法二依题意得an＝2n＋k，所以an＋1－an＝(2n＋2＋k)－(2n＋k)＝2，所以数列{an}是以2＋k为首项，2为公差的等差数列．因为S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋6.又S3＝6a1，所以a1＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)Sn＝·n＝·n＝n(n＋1)，所以＝＝－，所以T20＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.5．(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.因此f＞2a－2等价于lna＋a－1＜0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0,1)．6．如图，椭圆C：＋＝1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，A1B1＝，S▱A1B1A2B2＝2S▱B1F1B2F2.(1)求椭圆C的方程；(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，|OP|＝1.是否存在上述直线l使AP·PB＝1成立？若存在，求出直线l的方程...
