7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质课后篇巩固探究A组基础巩固1.已知角α的终边落在直线y=2x上,则tanα的值是()A.2B.±2C.D.±解析在终边上任取点P(a,2a)(a≠0),则tanα==2.答案A2.函数y=3tan的定义域是()A.B.C.D.解析要使函数有意义,则2x+≠kπ+(k∈Z),则x≠(k∈Z).答案C3.sin2·cos3·tan4的值为()A.负数B.正数C.0D.不存在解析∵<2<π,∴sin2>0.∵<3<π,∴cos3<0.∵π<4<,∴tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0.答案A4.函数y=tanx+是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析函数的定义域是∩{x|x≠kπ,k∈Z}=,关于原点对称.又∵f(-x)=tan(-x)+=-=-f(x),∴函数y=tanx+是奇函数.答案A5.函数f(x)=2x-tanx在上的图像大致为()解析函数f(x)=2x-tanx为奇函数,所以图像关于原点对称,故排除A,B.当x→时,f(x)→-∞,所以排除D,选C.答案C6.若tan≤1,则x的取值范围是.解析令z=2x-,满足tanz≤1的z值是-+kπsin-;②cos->cos-;③tan>tan;④tan>sin.其中正确结论的序号是.解析函数y=sinx是-,0上的增函数,0>->->-,所以sin->sin-,①正确;cos-=cos-6π-=cos,cos-=cos-4π-=cos,所以cos-=cos-,②不正确;函数y=tanx是,π上的增函数,<π,所以tanx>sinx,所以tan>sin,④正确.答案①④9.已知角α的终边上一点P的坐标为(-,y)(y≠0),且sinα=y.求tanα.解由题意r2=x2+y2=3+y2,由三角函数定义sinα=y,∴y=±,∴tanα=,即tanα=±.10.利用函数图像解不等式-1≤tanx≤.解作出函数y=tanx,x∈的图像,如图所示.观察图像可得:在区间上,自变量x应满足-≤x≤.由正切函数的周期性可知,不等式的解集为.11.求函数y=tan2x的定义域、值域、单调区间,并作出它在区间[-π,π]内的图像.解(1)要使函数y=tan2x有意义,只需2x≠+kπ(k∈Z),即x≠(k∈Z),∴函数y=tan2x的定义域为.(2)设t=2x,由x≠(k∈Z),知t≠+kπ(k∈Z).∴y=tant的值域为(-∞,+∞),即y=tan2x的值域为(-∞,+∞).(3)由-+kπ<2x<+kπ(k∈Z),得-a在x∈上恒成立,则a的取值范围为()A.a>1B.a≤1C.a<-1D.a≤-1解析因为函数y=tanx在x∈上是增加的,所以tanx>tan=-1,所以a≤-1.答案D5.导学号93774025若y=tan(2x+θ)图像的一个对称中心为,且-<θ<,则θ的值是.解析令2x+θ=(k∈Z),由对称中心为,得θ=(k∈Z).又θ∈,故θ=-.答案-6.作函数y=|tanx|的图像,并讨论其定义域、值域、奇偶性和单调性.解y=|tanx|=其图像如图所示,由图像可得y=|tanx|的性质如下:(1)定义域为(k∈Z);(2)值域为[0,+∞);(3)由|tan(-x)|=|-tanx|=|tanx|,知函数为偶函数;(4)单调递增区间为(k∈Z),单调递减区间为(k∈Z).7.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.解y=tan-ax=tan-ax+,∵y=tanx在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上为增函数,∴a<0,又x∈,∴-ax∈-,-,∴-ax∈,∴解得-≤a≤6-8k(k∈Z).由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.∴a=-2<0,∴存在a=-2∈Z,满足题意.
