高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制自主训练 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

1.3弧度制自主广场我夯基我达标1．下列命题中，错误的是（）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C.根据弧度的定义，180°等于π弧度D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关思路解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，只与弧长与半径的比值有关.答案：D2．α是第三象限的角，则π+α是（）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角思路解析：结合图形，π+α可以看成将α按顺时针旋转π得到的，则π+α是第一象限的角.答案：A3.如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，则扇形的面积为（）A.40πcm2B.80πcm2C.40cm2D.80cm2思路解析：先把角度化为弧度，然后利用弧度制下的扇形面积公式即可解出.72°=,S=|α|r2=××202=80πcm2.答案：B4．若扇形的面积是1cm2，它的周长是4cm，则扇形圆心角的弧度数为（）A.1B.2C.3D.4思路解析：设扇形的半径为Ｒ，弧长为l，由已知条件可知解得所以扇形的圆心角度数为=2.答案：B5．若α、β满足-＜α＜β＜，则α-2β的取值范围是____________________.思路解析：由题意,得-＜α＜，-π＜-2β＜π，∴-＜α-2β＜.答案：(-,)6.1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.思路分析：解决此问题的关键是求圆的直径.图1-3-5解：如图所示，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点，且AC=1，∠AOC=，∴r=OA==.则弧长l=|α|·r=，面积S=lr=.我综合我发展7.在直径为10cm的轮子上有一长为6cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒５弧度的角速度旋转，求经过５秒钟后，点P转过的弧长.思路分析：P点在一新圆上，所以要求点P转过的弧长，需先求新圆的半径.解：P到圆心O的距离PO==4（cm），即点P所在新圆的半径为4，又点P转过的角的弧度数α=5×5=25，所以弧长为α·OP=25×4=100（cm）.即点P转过的弧长为100cm.8.如图1-3-6,动点P、Q从点(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长.图1-3-6思路分析：利用方程思想，结合题意，求出第一次相遇的时间；利用解直角三角形的知识根据点所处位置，确定相遇点坐标；（3）利用弧长公式求弧长.解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·+t·|-|=2π，所以t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒，设第一次相遇点为C，则第一次相遇时已运动到终边在·4=的位置，则xC=-cos·4=-2,yC=-sin·4=-，所以C点的坐标为(-2,-)，P点走过的弧长为·4=；Q点走过的弧长为·4=.9.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示8点5分时，时针与分针构成的角度是_____________.思路解析：本题应从任意角的概念出发，研究时针与分针所构成的角α，其中有正角、负角，共有无穷多个角.要求这无穷多个角，可先求出在-360°—0°范围内的角∠AOB.∠AOB＝-(×360°×+90°+×360°)=-147.5°,所以角α可表示为α＝k·360°-147.5°（k∈Z）答案：k·360°-147.5°（k∈Z）10.如图1-3-7，已知一长为dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，且木块底面与桌面成角为，求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积.图1-3-7思路分析：A点首先以B为圆心，以2为半径旋转达到A1的位置；再以C为圆心，以1为半径旋转到A2的位置；然后以A2为圆心旋转，最后以D为圆心，以3为半径转过到达A3，A点走过的路程将包括三段弧，将这三段弧长及三个扇形面积分别相加即可.解：由题意得所对的圆的半径为2，圆心角为，则弧长l1=2×=π，扇形面积S1=××22=π.所对的圆半径是1，圆心角是，则弧长l2=1×=，扇形面积S2=××12=.所对的圆半径为，圆心角为，则弧长l3=×=，扇形面积S3=××()2=.则所走过路程是三段圆弧之和，即π++=，三段弧所在扇形的总面积是π++=dm2.11.一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2km，一列火车用每小时30km的速度通过，10s间转过几度？思路分析：利用速度和时间求出路程，即得圆弧的弧长，再由弧长公式可得圆心角的度数.因为火车前进的方向未知，所以将圆心角的大小加上绝对值.解：因为圆弧半径为2km=2000m，vk=30km/h=m/s，10s走过的弧长为m，∴|α|==rad≈2.39°,即10秒间转过约2.39°.