第6节利用基本不等式证明不等式【基础知识】如果，那么（当且仅当时取等号“=”）如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.【规律技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【典例讲解】【例1】已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：≥8.证明∵x＞0，y＞0，z＞0，∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，∴≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．【规律方法】利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【变式探究】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.【针对训练】1、不已知、、都是正数，求证：【解析】∵、、都是正数∴（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）∴（当且仅当时，取等号）即.2、已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.综合点评：1.在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2.三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3.在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．3、求证:【解析】证明:由基本不等式和得=当且仅当即时取等号.【巩固提升】1、若对一切a>b>c,不等式恒成立,求n的最大值.解:设a-b=x,b-c=y,则对一切x>0,y>0,不等式恒成立,即恒成立.易见2、求证：，并指出等号成立的条件。证明：故原不等式获证，且等号成立的条件是即证法二：3、已知：.将这两个不等式相加即得不等式(1),从而原不等式得证.4、设0
0,b>0,且a+b=1,求证:证法一:.由基本不等式,,所以原不等式成立.证法二:令由第三个不等式6、已知命题：如果.(1)证明这个命题是真命题;(2)根据已知条件还能得到什么新的不等式,试写出其中两个，并加以证明;(3)如果,且a+b+c=1,推广上述已知命题能得到什么不等式,并加以证明.解:(1)(当且仅当a=b时,等号成立);(2)（3）（当且仅当a=b=c时，等号成立）
