函数的对称性和周期性VIP免费

函数的对称性和周期性一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。3.掌握常见的函数对称问题二、建构知识网络一、两个函数的图象对称性1、)(xfy与)(xfy关于x轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。2、)(xfy与)(xfy关于Y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。3、)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(,)ab对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(,)ab对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。二、单个函数的对称性性质1：函数()yfx满足()()faxfbx时，函数()yfx的图象关于直线2abx对称。证明：在函数()yfx上任取一点11(,)xy，则11()yfx，点11(,)xy关于直线2abx的对称点11(,)abxy，当1xabx时11111()[()][()]()fabxfabxfbbxfxy用心爱心专心故点11(,)abxy也在函数()yfx图象上。由于点11(,)xy是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2abx对称。（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）性质2：函数()yfx满足()()faxfbxc时，函数()yfx的图象关于点（2ab，2c）对称。证明：在函数()yfx上任取一点11(,)xy，则11()yfx，点11(,)xy关于点（2ab，2c）的对称点（1abx，c－y1），当1xabx时，1111()[()]()fabxcfbbxcfxcy即点（1abx，c－y1）在函数()yfx的图象上。由于点11(,)xy为函数()yfx图象上的任意一点可知函数()yfx的图象关于点（2ab，2c）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）性质3：函数()yfax的图象与()yfbx的图象关于直线2bax对称。证明：在函数()yfax上任取一点11(,)xy，则11()yfax，点11(,)xy关于直线2bax对称点（1bax，y1）。由于1111[()][]()fbbaxfbbaxfaxy故点（1bax，y1）在函数()yfbx上。由点11(,)xy是函数()yfax图象上任一点因此()yfax与()yfbx关于直线2bax对称。用心爱心专心三、周期性1、一般地，对于函数()fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()fxTfx，那么函数()fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。推广：若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期2.若T是周期，则(0,)kTkkZ也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数()fxC；3、对于非零常数A，若函数()yfx满足(A)()fxfx，则函数()yfx必有一个周期为2A。证明：(2A)[(A)](A)[()]()fxfxxfxfxfx∴函数()yfx的一个周期为2A。4、对于非零常数A，函数()yfx满足1(A)()fxfx，则函数()yfx的一个周期为2A。证明：1(2)()()()fxAfxAAfxfxA。5、对于非零常数A，函数()yfx满足1()()fxAfx，则函数()yfx的一个周期为2A。证明：1(2)()()()fxAfxAAfxfxA。6、对于非零常数A，函数()yfx满足1()()21()Afxfxfx或1()()21()Afxfxfx则函数()yfx的一个周期为2A。证明：先看第一个关系式31()32(2)()3221()2AfxAAfxAfxAfx用心爱心专心1()11()1()2()1()1()121()fxAAfxAfxAfxAAfxAfxAfxA(2)()fxAfxA()()fxAfx()(2)fxfxA第二个式子与第一的证明方法相同7、已知函数()fx的定义域为N，且对任意正整数x都有()()()(0)fxfxafxaa则函数的一个周期为6a证明：()()...