1.6三角函数模型的简单应用自主广场我夯基我达标1.如图1-6-8所示，有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为2β=2°，若θ很小时，可取sinθ≈θ，试估算该气球的高BC的值约为（）图1-6-8A.70mB.86mC.102mD.118m思路解析：1°=,在Rt△ACD中，AC=.在Rt△ABC中，AC=，∴=.∴BC==3××≈86m.答案：B2.如图1-6-9是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是_______________.图1-6-9思路解析：设函数解析式为y=Asin(ωx+φ)，则A=2，由图象可知T=2×(0.5-0.1)=,∴ω==.∴×0.1+φ=.∴φ=.∴函数的解析式为y=2sin(x+).答案：y=2sin(x+)3.甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为_____________.思路解析：如图，甲楼的高度AC=AB=60米，在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×=.∴乙楼的高度为BD=BE-DE=60-米.答案：60米,60-米4.一树干被台风拦腰折断，两树干折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为_____________.思路解析：如图，BC=20tan30°=，AB=，所以树干原来的高度为AB+BC=（米）.答案：米5.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化,且最小正周期为12.（1）画出种群数量关于时间变化的图象；（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.思路分析：根据给出的数据要计算出要求函数的周期、振幅等数据.解：（1）种群数量关于时间变化的图象如图所示：（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+k.由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A==100，即ω==,k=800.又7月1日种群数量达到最高，所以×7+φ=.而φ=-.所以种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin(t-4)+800.6.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计如图1-6-10：图(1)的过水断面为等腰△ABC，AB=AC，过水湿周l1=AB+AC；图(2)的过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD,AD∥BC,∠BAD=60°，过水湿周l2=AB+BC+CD.若△ABC与等腰梯形ABCD的面积都为S.图1-6-10（1）分别求l1与l2的最小值（a2+b2≥2ab)；（2）为使流量最大，给出最佳设计方案.思路分析：解答此题首先要分别求出两个变量的函数表达式，然后可利用三角函数及不等式的性质求最值.解：在图（1）中，设∠ABC=θ,AB=AC=a，则S=a2sinθ，由于S,a,sinθ皆为正值，可解得a=，当且仅当sinθ=1时，即θ=90°时，取等号.所以l1=2a≥.在图(2)中，设AB=CD=m,BC=n,由∠BAD=60°，可求得AD=m+n,S=(n+m+n)·m,解得n=.l2=2m+n=2m+-=+.当且仅当=,即m=时，取等号.通过比较，可得l1min＞l2min,所以最佳方案应该是图(2)所示的方案.我综合我发展7.游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O距地面40.5m，半径40m，若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化，5min后到达最高点，在你登上摩天轮时开始记时.你能完成下面的问题吗？（1）当你登上摩天轮2min后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，请求出你的朋友与地面的距离y关于时间t的函数关系式；(2)你和你的朋友与地面的距离差何时最大？最大距离差是多少？(sinα-sinβ=2cossin)(3)如果规定每位游客乘坐摩天轮观景的时间是每次20min，从你的朋友登上摩天轮的时间算起，什么时候你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离？解：根据已知，可求得你与地面距离y与时间t的函数关系式为y=40sin(t)+40.5.(1)你的朋友比你晚2min登上摩天轮，即沿时间轴向右平移2个单位，得出你的朋友与地面距离y关于t的函数关系式为：y=40sin［(t-2)］+40.5,即y=40sin(t-)+40.5.(2)距离差为|y1-y2|=40|sin(t)-sin(t-)|=80cos(t-)sin.当cos(t-)=1,即t-=0,t=3.5min时，h达到最大，最大值距离差约为47m.(3)令h＜0，即sin(t-)＜0，故(2k+1)π＜t-＜(2k+2)π(k∈Z)，因为两位游客乘坐摩天轮的时间是每次20min，因此从你登上摩天轮开始计时到两人都下摩天轮为止，需经过22min，即t的取值范围是0＜...
