1.3中国古代数学中的算法案例(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.以下是利用更相减损之术求114和36的最大公约数的操作步骤：(114,36)→(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)，那么114和36的最大公约数为()A.1B.12C.6D.36【解析】由条件知最大公约数为6.【答案】C2.自然数8251和6105的最大公约数为()A.37B.23C.47D.111【解析】利用更相减损之术可得它们的最大公约数为37.【答案】A3.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A.6,6B.5,6C.5,5D.6,5【解析】秦九韶算法中需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，∴选A.【答案】A4.五次多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于()【导学号：00732031】A.－B.C.D.－【解析】∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，∴f(－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－＝－.【答案】A5.已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为()A.27B.11C.109D.36【解析】将函数式化成如下形式，f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1＝109，v5＝109×3＋1＝328.【答案】D二、填空题6.用更相减损之术求36和134的最大公约数，第一步应为________.【导学号：00732032】【解析】第一步为较大的数减去较小的数.【答案】134－36＝987.用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时值的算法：①第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.第三步，输出f(x).②第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.第三步，输出f(x).③需要计算5次乘法，5次加法.④需要计算9次乘法，5次加法.以上说法中正确的是________(填序号).【解析】①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错.对于一元最高次数是n的多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确.【解析】②③8.用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5在x＝－2的值时，v3的值为________.【解析】f(x)＝1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5＝x＋1，∴在x＝－2时，v1＝－2＋5＝3，v2＝－2×3＋10＝4，v3＝4×(－2)＋10＝2.【答案】2三、解答题9.用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6＋2x5＋3x4＋4x3＋5x2＋6x当x＝2时的值.【解】f(x)＝x6＋2x5＋3x4＋4x3＋5x2＋6x＝(((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6)x所以有v0＝1；v1＝1×2＋2＝4；v2＝4×2＋3＝11；v3＝11×2＋4＝26；v4＝26×2＋5＝57；v5＝57×2＋6＝120；v6＝120×2＝240.故当x＝2时，多项式f(x)＝x6＋2x5＋3x4＋4x3＋5x2＋6x的值为240.10.求三个数168,54,264的最大公约数.【解】∵(168,54)→(114,54)→(60,54)→(6,54)→(6,48)→(6,42)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)，∴168和54的最大公约数为6.∵(54,264)→(210,54)→(156,54)→(102,54)→(48,54)→(48,6)→(42,6)→…→(6,6)，∴54和264的最大公约数为6.故168,54,264的最大公约数为6.[能力提升]1.下列哪组的最大公约数与1855,1120的最大公约数不同()A.1120,735B.385,350C.385,735D.1855,325【解析】∵(1855,1120)→(735,1120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)→(315,35)→…→(35,35)，∴1855与1120的最大公约数是35，由以上计算过程可知选D.【答案】D2.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值为()A.－10B.40C.0D.32【解析】将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.【答案】C3用秦九韶算法求函数f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4，当x＝－1时的值时，v2的结果是________.【解析】此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式(k＝1,2，…，n)，得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6.【答案】64.有甲、乙、丙三种溶液分别重147g,343g,133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？【导学号：00732033】【解】每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数.343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49.所以147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7克.
