高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制课后导练 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

1.3弧度制课后导练基础达标1.化为角度是（）A.140°B.139°C.144°D.159°解析：=144°.答案：C2.72°化为弧度是（）A.B.C.D.解析：72×.答案：A3.若α=-4弧度，则α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析：∵＜-4＜-π,∴α是第二象限角.答案：B4.将1008°化为α+2kπ(0≤α＜2π,k∈Z)的形式（）A.2π+B.2π-C.3π+D.3π-解析：1008°=720°+288°=2π+.答案：A5.若扇形的面积是1cm2,它的周长是4cm，则扇形圆心角的弧度数为（）A.1B.2C.3D.4解析:确定扇形的条件有两个，最直接的条件是给出扇形的半径、弧长和圆心角中的两个.设扇形的半径为Ｒ，弧长为l，由已知条件可知：R=1，所以扇形的圆心角度数为=2.答案：Ｂ6.圆的半径变为原来的2倍，而弧长不变，设弧所对的圆心角是原来的________倍.解析：由α=可知该弧所对的圆心角是原来的倍.答案：7.α是第二象限角，则π+α是第______象限角.解析：取α=,则π+α=,故α在第四象限.答案：四8.一弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.解析：如右图，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点，且AC=1,∠AOC=，所以r=OA=.则弧长l=|α|·r=，面积S=lr=.9.在直径为10cm的轮子上有一长为6cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5秒钟后，点P转过的弧长.解析：P到圆心O的距离PO==4（cm），即为点P所在新圆的半径，又点P转过的角的弧度数α=5×5=25，所以弧长为α·OP=25×4=100（cm）.10.如右图,动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长.解析：设P,Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·+t·|-|=2π，所以t=4（s），即第一次相遇的时间为4s.设第一次相遇点为C，第一次相遇时已运动到终边在×4=的位置，则xc=-cos×4=-2，yc=-sin×4=，所以C点的坐标为（-2,)，P点走过的弧长为：×4=;Q点走过的弧长为.综合运用11.下列四个命题中，不正确的一个是（）A.半圆所对的圆心角是πradB.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：本题考查弧度制下，角的度量单位：1弧度的概念.根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项，可知D不正确.答案：D12.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},则A∩B等于（）A.B.{α|0≤α≤π}C.{α|-4≤α≤4}D.{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}解析：取k=0,-1，写出A在k取值-1，0时的α,画数轴求解.答案：D13.(2006辽宁高考，文1)函数y=sin(x+3)的最小正周期是（）A.B.πC.2πD.4π解析：函数y=sin(12x+3)的最小正周期T==4π.答案：D14.如下图所示，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，（不包括边界）.解析：（1）中OB为终边的角为330°，可看成-30°，化为弧度，即，而75°=,∴阴影部分内的角的集合为{θ|2kπ＜θ＜2kπ+,k∈Z}.（2）中OB为终边的角是225°，可看成-135°，化为弧度，即π，而135°=.∴阴影部分内的角的集合为{θ|2kπ＜θ＜2kπ+,k∈Z}.15.用30cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解析：设扇形半径为r，弧长为l,扇形面积为S.则l+2r=30,即l=30-2r.①将①式代入S=lr,得S=（30-2r）·r=-r2+15r=-(r-)2+.所以当r=时，扇形面积最大，且最大面积为cm2.此时圆心角θ=30-=2.拓展探究16.在炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是很好的办法.纸扇在美观的设计上，可考虑用料图案和形状.若从数学角度看，我们能否利用黄金比例（0.618）去设计一把有美感的白纸扇呢？思路分析:在设计纸扇张开角(θ)时，可以考虑从一圆形（半径为r）分割出来的扇形的面积(A1)与剩余面积(A2)的比值.若这一比值等于黄金比例，便可找到θ.解析：若=0.618,θ以弧度表示,则θ=0.618(2π-θ).所以θ=0.764π≈140°（精确到度）.我们可以找市面上的纸扇去检验其张开的角度是否接近140°，也可以自制不同形状的纸扇，去测试一下是否θ接近140°时纸扇的形状最美观.