1.4.3正切函数的性质与图象课后篇巩固探究1.函数f(x)=的定义域为()A.B.C.D.解析由题意得k∈Z,所以x≠(k∈Z),选A.答案A2.若函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同,则ω=()A.±1B.1C.±2D.2解析∵函数g(x)的周期为=π,∴=π,∴ω=±1.答案A3.函数y=tan的一个对称中心是()A.(0,0)B.C.D.(π,0)解析令x+,k∈Z,得x=,k∈Z,所以函数y=tan的对称中心是.令k=2,可得函数的一个对称中心为.答案C4.函数f(x)=tan的单调递减区间为()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.(kπ,(k+1)π),k∈Z解析因为f(x)=tan=-tan,所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan的单调递增区间.所以kπ-≤x-≤kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故原函数的单调递减区间是,k∈Z.答案B5.在区间范围内,函数y=tanx与函数y=sinx图象交点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析在同一平面直角坐标系中,首先作出y=sinx与y=tanx在内的图象,需明确x∈时,有sinxsin-;②cos->cos-;③tan>tan;④tan>sin.其中正确结论的序号是.解析函数y=sinx是-,0上的增函数,0>->->-,所以sin->sin-,①正确;cos-=cos-6π-=cos,cos-=cos-4π-=cos,所以cos-=cos-,②不正确;函数y=tanx是,π上的增函数,<π,所以tanx>sinx,所以tan>sin,④正确.答案①④8.已知函数y=tanωx在内是减函数,则ω的取值范围为.解析由题意可知ω<0,又,故-1≤ω<0.答案[-1,0]9.关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;②f(x)的图象关于对称;③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.其中不正确的说法的序号是.解析①若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tanx,此时,f(x)为奇函数,所以①错;观察正切函数y=tanx的图象,可知y=tanx关于(k∈Z)对称,令x+φ=,k∈Z,得x=-φ,分别令k=1,2知②,③正确,④显然正确.答案①10.导学号68254042方程-tanx=0在x∈内的根的个数为.解析分别画出y=与y=tanx在x∈内的图象,如图.易知y=与y=tanx在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.答案211.求函数y=-tan2x+4tanx+1,x∈的值域.解∵-≤x≤,∴-1≤tanx≤1.令tanx=t,则t∈[-1,1].∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,当t=1,即x=时,ymax=4.故所求函数的值域为[-4,4].12.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.解y=tan-ax=tan-ax+,∵y=tanx在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上为增函数,∴a<0,又x∈,∴-ax∈-,-,∴-ax∈,∴解得-≤a≤6-8k(k∈Z).由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.∴a=-2<0,∴存在a=-2∈Z,满足题意.13.设函数f(x)=asinkx+和φ(x)=btankx-,k>0,若它们的最小正周期之和为,且f=φ,f=-φ+1,求f(x),φ(x)的解析式.解f(x)=asinkx+的最小正周期T=.φ(x)=btankx-的最小正周期T=.∵,∴k=2.∴f(x)=asin2x+,φ(x)=btan2x-,∴f=asinπ+=-asin=-a.φ=btanπ-=-btan=-b.f=asin=acosa.φ=btan=b.∴化简得∴f(x)=sin2x+,φ(x)=tan2x-.
