课时作业5空间图形的基本关系与公理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中(B)A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.2．下列命题中正确命题的个数是(C)①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据公理1可知①②④正确，③错误．故选C.3．已知直线m平面α，P∉m，Q∈m，则(D)A．P∉α，Q∈αB．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉αD．Q∈α解析：因为Q∈m，mα，所以Q∈α.因为P∉m，所以有可能P∈α，也可能有P∉α.4．空间中四点可确定的平面有(D)A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个解析：当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．5．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(C)A．3B．4C．5D．6解析：如图所示，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．6．给出下列命题：①若平面α内的直线m与平面β内的直线n为异面直线，直线l是α与β的交线，那么l至多与m，n中的一条相交；②若直线m与n异面，直线n与l异面，则直线m与l异面；③一定存在平面γ同时和异面直线m，n都平行．其中，正确的命题是(C)A．①B．②C．③D．①③解析：①错误，l可能与m，n两条都相交；②错误，直线m与l也可共面；③正确．7．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(C)解析：A中PQ∥RS，B中PQ∥RS，D中PQ与RS相交，故选C.8．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与AN成60°的角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是(C)A．①②③B．②④C．③④D．②③④解析：平面展开图折成正方体如图所示，容易选出答案C.二、填空题9．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有1或2或3条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．10．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有3对．解析：将展开图恢复成正方体后，得到AB与CD，EF与GH，AB与GH三对异面直线．11.如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，若AB＝BP，QC＝2CB，则＝1.解析： △ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，∴P、R、Q三点均是平面ABC与平面α的公共点，故可知这三点共线．连接PQ，则它经过点R，过点B作BM∥CR交PR于点M.由AB＝BP，得B是AP的中点，∴M是PR的中点．令RM＝MP＝k，且QC＝2CB，∴＝＝2，得QR＝2RM＝2k.又RP＝2k，∴＝＝1.三、解答题12．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求异面直线A1D1与AC所成的角．解：如图所示： A1D1∥AD，∴∠DAC即为异面直线A1D1与AC所成的角，由四边形ABCD为正方形，得∠DAC＝45°，所以异面直线A1D1与AC所成的角为45°.13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点．求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图所示，连接EF，A1B，D1C. E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形．∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴EF与CD1确定一个平面，∴E，F，D1，C四点共面．(2) EF綊CD1，∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P，如上图所示． D1F平面ADD1A1，P∈D1F，∴P∈平面ADD1A1.又 CE平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD.∴P是平面ABCD与平面ADD1A1的公共点．又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．——能力提升类——14．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有且...
