课时作业29等比数列及其前n项和一、选择题1．(2014·北京海淀一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2＋a2，S3成等差数列，则数列{an}的公比为()A．1B．2C.D．3解析：因为S1，S2＋a2，S3成等差数列，所以2(S2＋a2)＝S1＋S3,2(a1＋a2＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，a3＝3a2，q＝3.选D.答案：D2．(2014·湖北八市3月联考)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log35解析：由题意可知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18得a5a6＝a4a7＝9，而log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝log3310＝10.答案：B3．(2014·河北唐山一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1解析：∵∴由(1)除以(2)可得＝2，解得q＝，代入(1)得a1＝2，∴an＝2×n－1＝，∴Sn＝＝4，∴＝＝2n－1，选D.答案：D4．(2014·皖西七校联考)在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝()A.B．16C．15D.解析：由等比数列的性质知a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.∵a4＋2a7＝2×17＝34，∴a7＝(2×17－a4)＝(2×17－2)＝16.∴q3＝＝＝8，即q＝2.由a4＝a1q3＝a1×8＝2，得a1＝，∴S6＝＝.答案：A5．(2014·河南适应性模拟)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的一个可能的值是()A.B.1C．2D.解析：由题意可设三角形的三边分别为，a，aq，因为三角形的两边之和大于第三边，所以有＋a＞aq，即q2－q－1＜0(q＞0)，解得0＜q＜，但当q＝时不合题意．所以q的一个可能值是，故选D.答案：D6．(2014·四川七中4月模拟)正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得aman＝16a，则＋的最小值为()A.B.C.D.解析：由a3＝a2＋2a1得q2＝q＋2，∴q＝2(q＝－1舍去)，由aman＝16a得2m－12n－1＝16，因为m＋n－2＝4，m＋n＝6，所以＋＝＝≥＝.答案：D二、填空题7．(2014·北京石景山一模)在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16，则数列{an}的通项公式an＝__________，设bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn＝__________.解析：由题意得公比q3＝＝8，q＝2，an＝2·2n－1＝2n.因此bn＝n，Sn＝.答案：2n8．(2014·上海嘉定一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝S5，则S2014＝__________.解析：根据数列前n项和的定义知S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝a5，故a1＋a2＋a3＋a4＝0，即a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋q)(1＋q2)＝0，从而1＋q＝0，q＝－1，所以这个等比数列的相邻两项的和都是0，所以S2014＝0.答案：09．(2014·山东省实验中学诊断)在各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值是__________．解析：由题意知a4·a14＝(2)2＝a，即a9＝2.设公比为q(q＞0)，所以2a7＋a11＝＋a9q2＝＋2q2≥2＝8，当且仅当＝2q2，即q＝时取等号，其最小值为8.答案：8三、解答题10．(2014·福建卷)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)设{an}的公比为q，依题意得解得因此，an＝3n－1.(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.11．(2014·重庆卷)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．(1)求an及Sn；(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0.求{bn}的通项公式2及其前n项和Tn.解析：(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝＝n2.(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，所以(q－4)2＝0，从而q＝4.又因b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．12．(2014·山东淄博一模)在数列{an}中，a1＝－，2an＝an－1－n－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋n.(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{nbn}的前n项和Tn；(3)若cn＝n－an，Pn为数列{}的前n项和，求不超过P2014的最大的整数．解析：(1)证明：由2an＝an－1－n－1两边加2n得，2(an＋n)＝an－1＋n－1，所以＝，即＝.故数列{bn}是公比为的等比数列，其首项为b1＝a1＋1＝－＋1＝，所以bn＝n.(2)nbn＝n·n＝.Tn＝＋＋＋＋…＋＋.①Tn＝＋＋＋＋…＋＋.②①－②得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝1－－，所以Tn＝2－.(3)由(1)得an＝n－n，所以cn＝n.＝＝1＋＝1＋－.P2014＝＋＋＋…＋＝2015－.所以不超过P2014的最大的整数是2014.3
