数学思想方法在集合中的应用 学法指导 不分版本VIP专享VIP免费

数学思想方法在集合中的应用陈长松集合中蕴含着丰富的数学思想方法，在解有关集合问题时，若能充分运用这些数学思想方法，可使许多问题获得简洁、巧妙的解法。本文将集合中常见的数学思想方法举例说明，供大家参考。一.数形结合思想数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观、具体的图形结合起来，通过“数与形”的相互转化，达到化难为易，化繁为简的目的。集合中常用到数轴法和韦恩图法。例1.设集合MxxNxtxttR||25221，，，若MNN，求实数t的取值范围。解：由MNNNM得当Ntt，212即tMNN13时，成立当N时，由图1中数轴所示，可得22121522tttt解得132t综上所述，可知所求实数t的取值范围为tt|2。图1评析：应用数轴解答有关集合问题时，应先画出数轴，然后依据题目的条件将集合准确地在数轴上表示出来，再借助数轴的直观性，从而使抽象的集合问题的解答简洁、巧妙、形象、直观。例2.已知集合A、B、C为非空集合，MACNBCPMN，，，则（）A.一定有CPCB.一定有CPPC.一定有CPCPD.一定有CP解：如图2所示，MACNBCPMN，，则必有MNC，即PC故CPP，应选B。图2评析：对于涉及集合个数或对于未给元素的抽象集合，在研究其关系或运算时，常可考虑用韦恩图求解。二.分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，也是一种基本的解题策略。通过分类讨论、各个击破的解题手段，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决。用心爱心专心122号编辑1例3.设集合AyyxxxRByyaxxaxR||222424，，，，若AB，求实数a的取值范围。解：由yxxx2224133()得Ayy|3在集合B中，yaxxaxR224，（1）当a=0时，yx2，则BR，满足AB（2）当a0时，yaxaaa1412①若a0，则Byyaaa410，，这与AB矛盾。②若a0，则Byyaaa410，，为使AB，只要413aa即可，从而可得01a。综上（1）、（2）所述，实数a的取值范围是aa|01。评析：分类讨论是解决集合问题的常用方法，但在分类时，必须要统一标准，简明扼要，做到不重不漏。三.方程思想方程思想是高中数学中最基本、最重要的数学思想，就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论的方法，使问题得到解决。例4.已知全集UAmnpBmnmpnp1246881,,,,,,,，集合，，，，集合，且ABCAU，求。解：由A=B，得8181mnpmnmpnpmnpmnmpnp①②由②得mnp8又m、n、pU，且元素m、n、p互异故m、n、p中不能有6，只能分别为1、2、4（顺序不定），显然1、2、4也是①的解。∴，，，，即ACAU12486评析：本题是利用两个集合（有限集）的性质解集合相等的问题，其实质就是用方程的思想和方法，即从A=B中找出两个独立的等量关系，解题中要注意排除与集合元素互异性或题设相矛盾的情况。四.化归与转化思想在处理数学问题时，通过某种变换或化归，把复杂问题简单化，把陌生问题转化为熟悉问题，从而使原问题得到解决。例5.已知UxyxRyRAxyxyBxyyx,|(,)|(,)，，，111，求CBAU。用心爱心专心122号编辑2解：UxyxRyR()|，，是平面上所有点的集合；A是直线xy1上的点的集合；B是直线xy1上的点的集合，但要除去点（1，0）。而CBU表示点（1，0）以及平面上除了直线xy1上的点以外的所有点的集合，所以CBAU对应的元素为（1，0），即CBAU()10，。评析：数学语言通常包括文字语言、符号语言、图形语言等，在处理集合问题时，我们经常需要将这几种语言进行转化，但在相互转化的过程中要注意转化的等价性。用心爱心专心122号编辑3