1.4三角函数的图象与性质自主广场我夯基我达标1．函数y=的定义域是（）A.［0，1］B.x∈RC.［kπ,kπ+］(k∈Z)D.［2kπ,2kπ+］(k∈Z)思路解析：由函数式可知sin(cosx)≥0，∴0≤cosx≤1，∴x∈［2kπ,2kπ+］(k∈Z).答案：D2．（2004全国高考卷Ⅲ，文10）函数y=2sin(-x)-cos(+x)(x∈R)的最小值为（）A.-3B.-2C.-1D.思路解析：y=2sin(-x)-cos(+x)=2sin(-x)-cos［-(-x)］=2sin(-x)-sin(-x)=sin(-x).∵x∈R,∴ymin=-1.答案：C3．在(0,2π)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为（）A.(,)∪（π，）B.（，π）C.（，）D.（，π）∪(,)思路解析：此题可以使用图象法、特殊值法或者常规计算法等多种方法进行求解.利用单位圆图象解答时，以直线y=x为界，角α的终边落在该直线上方，则有sinα＞cosα；落在该直线下方，则有sinα＜cosα；落在y=x上，则有sinα=cosα.答案：C4．下列函数中，周期为π，图象关于直线x=对称的函数是（）A.y=2sin(+)B.y=2sin(-)C.y=sin(2x+)D.y=sin(2x-)思路解析：sin(ωx+φ)周期，对称轴方程ωx+φ=kπ+)(k∈Z)，由周期为π，得ω=±2,排除A、B；将x=代入2x+得，将x=代入2x-得.答案：D5．已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图1-4-3所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集为（）图1-4-3A.(-3,)∪(0,1)∪(,3)B.(,-1)∪(0,1)∪(,3)C.(-3,)∪(0,1)∪(1,3)D.(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3)思路解析：奇函数的图象关于原点对称，由此将图象补充完整，再在同一坐标系中画出y=cosx的图象，如图所示，当f(x)与cosx的值互为相反数，即在同一个取值范围内，图象一个在x轴上方，一个在x轴下方时，f(x)cosx＜0,观察图象可知，满足条件的x取值集合为(,-1)∪(,3)∪(0,1).答案：B6．（2005上海高考卷，理10）函数f(x)=sinx+2|sinx|，x∈［0,2π］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________________.思路解析：∵f(x)=∴y=f(x)图象如图所示，从图象上可以看出：若y=f(x)与y=k图象有且仅有两个交点，则k的取值范围是1＜k＜3.答案：1＜k＜37.欲使函数y=Asinωx(A＞0,ω＞0)在闭区间［0，1］上至少出现50个最小值，则ω的最小值是_______________.思路解析：要使y=Asinωx在［0,1］上至少出现50个最小值，则至少需含493[]4个周期，即解得ω≥.答案：8.方程sinx=的根的个数为_____________.思路解析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合，转化为函数y=的图象与函数y=sinx的图象交点个数，借助图形直观求解.如图所示，当x≥4π时，≥＞1≥sinx，当0＜x＜4π时，sin=1＞=.从而x＞0时，有3个交点，由对称性知x＜0时，也有3个交点，加上原点，一共有7个交点.答案：7我综合我发展9.求函数f(x)=|tanx|这里是一个图片的定义域与值域，并作其图象.思路分析：注意对给出的函数式进行化简，变形过程中一定要保证等价性.解：f(x)=|tanx|化为f(x)=可知，函数的定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}，值域为［0，+∞)，其图象如图所示：10.已知函数f(x)=+1.（1）讨论函数的奇偶性；（2）判断函数的最小正周期，并证明你的结论（用反证法）.思路分析：（1）利用函数奇偶性的定义；（2）周期函数周期不止一个，一般存在一个最小正周期，证明T是最小正周期时，往往用反证法比较容易.解：f(x)=|sinx|+|cosx|+1的定义域为R.（1）∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.（2）∵f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|+1=f(x),∴是一个周期.假设f(x)的最小正周期为T，且0＜T＜，则f(x+T)=f(x)，即|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|对x∈R恒成立.x=0，得|sinT|+|cosT|=1.∵0＜T＜，∵sinT+cosT=1(sinT+cosT)2=11+2sinTcosT=1,∴sinTcosT=0sinT=0或cosT=0与T∈(0,)矛盾.∴f(x)的最小正周期为T=.11.已知函数f(x)=tanx,x∈(0,)，若x1、x2∈(0,)且x1≠x2，试比较［f(x1)+f(x2)］与f()的大小.思路分析：数形结合法.解：f(x)=tanx,x∈(0,)的图象如右图所示，则f(x1)=AA1,f(x2)=BB1，f()=CC1,C1D是直角梯形AA1B1B的中位线，所以［f(x1)+f(x2)］=(AA1+BB1)=DC1＞CC1=f()，即［f(x1)+f(x2)］＞f().
