新（全国甲卷）高考数学三轮增分练高考压轴大题突破练（四）函数与导数（2）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

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(四)函数与导数(2)1．(2016·课标全国丙)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<1，证明：当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.(1)解由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0解得x＝1.当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．(2)证明由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc．令g′(x)＝0，解得x0＝.当x0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．由(2)知1<0.所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.2．(2016·课标全国甲)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于lnx－>0，设g(x)＝lnx－，则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)单调递增，因此g(x)>0；②当a>2时，令g′(x)＝0得，x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)<0，综上，a的取值范围是(－∞，2]．3．(2016·北京)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围；(3)求证：a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．(1)解由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，切线斜率k＝f′(0)＝b.又f(0)＝c，所以切点坐标为(0，c)．所以所求切线方程为y－c＝b(x－0)，即bx－y＋c＝0.(2)解由a＝b＝4得f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，所以f′(x)＝3x2＋8x＋4＝(3x＋2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得(3x＋2)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝－，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下：x(－∞，－2)－2－f′(x)＋0－0＋f(x)↗c↘c－↗所以，当c＞0且c－＜0时，存在x1∈(－∞，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c∈时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点．(3)证明当Δ＝4a2－12b＜0，即a2－3b＜0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b＞0，x∈(－∞，＋∞)，此时函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)不可能有三个不同零点．当Δ＝4a2－12b＝0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b只有一个零点，记作x0.当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(－∞，x0)上单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(x0，＋∞)上单调递增．所以f(x)不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f(x)有三个不同零点，则必有Δ＝4a2－12b＞0，故a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要条件．当a＝b＝4，c＝0时，a2－3b＞0，f(x)＝x3＋4x2＋4x＝x(x＋2)2只有两个不同零点，所以a2－3b＞0不是f(x)有三个不同零点的充分条件．因此a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．4．(2016·山东)已知f(x)＝a(x－lnx)＋，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝1时，证明f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立．(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－－＋＝.当a≤0时，x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．当a>0时，f′(x)＝.①01，当x∈(0,1)或x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．②a＝2时，＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增．③a>2时，0<<1，当x∈或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0

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