课后提升作业二十平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知=(1,3)且点B(-1,8),则点A的坐标为()A.(0,-11)B.(-2,5)C.(2,-5)D.(0,5)【解析】选B.设A点坐标为(x,y),则=(-1-x,8-y)=(1,3),所以得【误区警示】本题易弄错向量的坐标与点的坐标的顺序而致误.2.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)【解析】选A.2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7).3.(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)【解题指南】先求出,再利用=-求解.【解析】选A.因为=(3-0,2-1)=(3,1),所以=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).4.(2016·长春高一检测)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A.B.C.D.【解析】选A.由已知,得=(3,-4),所以||=5,因此与同方向的单位向量是=.5.(2016·聊城高一检测)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为()A.B.C.(3,2)D.(1,3)【解析】选A.设点D(m,n),则由题意得(4,3)=2(m,n-2)=(2m,2n-4),由此解得m=2,n=,点D.6.已知M(3,-2),N(-5,-1)且=,则点P的坐标为()A.(-8,1)B.C.D.(8,-1)【解析】选C.设P(x,y),由(x-3,y+2)=×(-8,1),所以x=-1,y=-.7.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中,正确的个数是()①存在实数x,使a∥b;②存在实数x,使(a+b)∥a;③存在实数x,m,使(ma+b)∥a;④存在实数x,m,使(ma+b)∥b.A.0个B.1个C.2个D.3个【解题指南】利用两向量共线的坐标表示求解出x的值.【解析】选B.由a∥b得x2=-9,无实数解,故①不对;又a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,无实数解,故②不对;因为ma+b=(mx-3,3m+x),而(ma+b)∥a,所以(3m+x)x-3(mx-3)=0,即x2=-9,无实数解,故③不对;由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故④正确.8.对于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义m⊗n=(x1x2,y1y2),已知a=(2,-4),且a+b=a⊗b,则b=()A.B.C.D.【解析】选A.设b=(x,y),由定义知a⊗b=(2x,-4y),所以有(2+x,y-4)=(2x,-4y),所以2x=x+2,y-4=-4y,得x=2,y=.所以b=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·北京高一检测)已知两点A(1,0),B(1,1),O为坐标原点,点C在第二象限,且∠AOC=135°,设=-+λ(λ∈R),则λ的值为.【解析】由∠AOC=135°知,点C在射线y=-x(x<0)上,设点C的坐标为(a,-a),a<0,则有(a,-a)=(-1+λ,λ),得a=-1+λ,-a=λ,消掉a,得λ=.答案:10.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.【解题指南】利用向量相等的定义,得出关于m,n的二元一次方程组,求出m,n的值相减即可.【解析】因为a=(2,1),b=(1,-2),所以ma+nb=m(2,1)+n(1,-2)=(2m+n,m-2n).又因为ma+nb=(9,-8),所以解得所以m-n=-3.答案:-3三、解答题(每小题10分,共20分)11.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),求的坐标.【解析】=-=(-3,2),所以=2=(-6,4).=+=(-2,7),所以=3=(-6,21).12.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标.(2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求λ与y的值.【解析】(1)设B(x1,y1),因为=(4,3),A(-1,-2),所以(x1+1,y1+2)=(4,3),所以所以所以B(3,1).同理可得D(-4,-3),设BD的中点M(x2,y2),则x2==-,y2==-1,所以M.(2)由=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),又=λ(λ∈R),所以(1,1-y)=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ),所以所以【能力挑战题】平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),点C在第二象限内,∠AOC=,且OC=2,若=λ+μ,求的值.【解析】设C(x,y),因为点C在第二象限内,且∠AOC=π,OC=2,所以x=OC·cosπ=-,y=OC·sinπ=1,所以C(-,1),所以=(-,1).又因为=λ+μ,所以(-,1)=λ(1,0)+μ(0,1),即(-,1)=(λ,μ),所以λ=-,μ=1.故==-.
