1.4.2空间图形的公理（二）[A.基础达标]1．下列命题中，真命题的个数是()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行．A．1B．2C．3D．4解析：选B.①这两个角也可能互补，故①是错误的；②是正确的，它是等角定理的推广和延伸．③空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，故③是错误的．④是公理4，是正确的．所以结论正确的个数为2.2．已知直线a，b，c，下列说法正确的是()A．a∥b，b∥c，则a∥cB．a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．a与b所成的角与b与c所成的角相等，则a∥c解析：选A.A是公理4的内容．如图正方体中，AB，A1B1都与CC1异面，但AB与A1B1不异面，B错，AB，A1B1都与BB1相交，但AB与A1B1不相交，C错；AB，BC都与DD1成90°角，但AB与BC不平行，D错．3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为边B1C1，C1C，A1A，AD的中点，则EF与GH()A．平行B．相交C．异面D．不能确定解析：选A.连接A1D，B1C，由三角形的中位线性质可得GH∥A1D，EF∥B1C，又因为在正方体中A1D∥B1C，所以GH∥EF.4．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C.如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．5．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是()A．MN≥(AC＋BD)B．MN≤(AC＋BD)C．MN＝(AC＋BD)D．MN＜(AC＋BD)解析：选D.如图，取BC的中点H，连接MH，HN，MN，据题意有MH＝AC，MH∥AC，HN＝BD，HN∥BD.在△MNH中，由两边之和大于第三边知，MN＜MH＋HN＝(AC＋BD)．6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行且方向相反．答案：(1)D1B1C1(2)A1D1B17．如图所示是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE是异面直线．以上两个结论中，正确的是________(填序号)．解析：在正方体中，直线间的关系比较清楚，所以可以把原图还原为正方体，找出相应直线间的关系．答案：①8．如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是________．解析：因为B1B∥A1A，所以∠BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角，连接BD.在Rt△B1BD中，设棱长为1，则B1D＝.cos∠BB1D＝＝＝.所以AA1与B1D所成的角的余弦值为.答案：9．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：(1)D1E∥BF；(2)∠B1BF＝∠D1EA1.证明：(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM＝A1B1，EM∥A1B1.因为A1B1＝C1D1，且A1B1∥C1D1，所以EM＝C1D1，且EM∥C1D1.所以四边形EMC1D1为平行四边形．所以D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB＝C1F，且MB∥C1F.所以四边形BFC1M为平行四边形，所以BF∥C1M，所以D1E∥BF.(2)由(1)知，ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，所以∠B1BF＝∠D1EA1.10．如图，ABEDFC为多面体，点O在棱AD上，OA＝1，OD＝2，在侧面ACFD中，△OAC和△ODF为正三角形，在底面ABED中，△OAB和△ODE也都是正三角形，求证：直线BC∥EF.证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB＝DE，所以OG＝OD＝2.同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′＝OD＝2，又由于G与G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合，在△GED和△GFD中，由OB∥DE，OB＝DE和OC∥DF，OC＝DF，可知B，C分别是GE，GF的中点，所以BC是△GFE的中位线，故BC∥EF.[B.能力提升]1．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF和CD所成的角是()A．90°B．45°C．60°D．30°解析：选D.如图，作FG∥CD...
