1.3.1第1课时等比数列的概念及通项公式[A基础达标]1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比q为()A．2B．4C．8D．16解析：选B.由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，所以q＝±4.因为a1a2＝aq＝16＞0，所以q＞0，所以q＝4.2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是()A．a≠1B．a≠0或a≠1C．a≠0D．a≠0且a≠1解析：选D.由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.3．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9B．10C．11D．12解析：选C.在等比数列{an}中，因为a1＝1，所以am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.又因为am＝qm－1，所以m－1＝10，所以m＝11.4．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为()A．7B．8C．9D．16解析：选B.因为点(an，an＋1)在直线y＝2x上，所以an＋1＝2an.因为a1＝1≠0，所以an≠0，所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以a4＝1×23＝8.5．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为()A.B．C.D．解析：选A.设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25，所以这三个数为45，75，125，公比q为＝.6．(1)把下面数列填上适当的数．32，16，________，4，2，1.(2)数列2，4，8，16，32，…，的一个通项公式为________．解析：(1)公比为的等比数列．(2)该数列为等比数列，首项a1＝2，公比q＝2，所以an＝a1qn－1＝2n.答案：(1)8(2)an＝2n7．已知等比数列{an}的前三项为a－2，a＋2，a＋8，则等于________．解析：由题意知(a＋2)2＝(a－2)(a＋8)，所以a＝10，所以{an}的首项为8，公比为，即an＝8×，所以＝＝.答案：8．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________．解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q>1，所以q＝2.答案：29．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若an＝，求n.解：(1)因为a5＝a1q4＝a3q2，所以q2＝＝.所以q＝±.当q＝时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝32×＝28－n；当q＝－时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝32×.所以an＝28－n或an＝32×.(2)当an＝时，28－n＝或32×＝，解得n＝9.10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解：(1)由题意可得a2＝，a3＝.(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以＝.故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.[B能力提升]11．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，如[2.5]＝2，[－2.5]＝－3，令{x}＝x－[x]，则，，，三个数构成的数列()A．是等比数列但不是等差数列B．是等差数列但不是等比数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列解析：选A.因为＝1，所以＝－＝－1＝.由于·＝12，＋＝≠2×1，所以，1，成等比数列，不成等差数列，即，，成等比数列，不成等差数列．12．已知等比数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，2a2成等比数列，则an＝________．解析：设等比数列{an}的公比为q，则a2＝q，a3＝q2.因为a1，a3，2a2成等比数列，所以q4＝2q，解得q＝2，所以an＝2n－1.答案：2n－113．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1.(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式；(2)设bn＝an＋1＋2an，求证：数列{bn}是等比数列．解：(1)因为Sn＝2an＋1，所以Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＋1－Sn＝an＋1＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，所以an＋1＝2an①，由已知及①式可知an≠0.所以由＝2，知{an}是等比数列．由a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1，所以an＝－2n－1.(2)证明：由第一问知，an＝－2n－1，所以bn＝an＋1＋2an＝－2n－2×2n－1＝－2×2n＝－2n＋1＝－4×2n－1.所以数列{bn}是等比数列．14．(选做题)在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.(1)求数列{an}的公差和数列{bn}的公比；(2)是否存在a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，...
