几个重要不等式(二)柯西不等式，当且仅当bi=lai(1£i£n)时取等号柯西不等式的几种变形形式1.设aiÎR,bi>0(i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=lai(1£i£n)时取等号2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等号例1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn为正数，求证：证明：左边=例2.对实数a1,a2,…,an,求证：证明：左边=例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：证明：左边³例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：证明：左边=³==例5.若n是不小于2的正整数，试证：证明：所以求证式等价于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有<例6.设x1,x2,…,xn都是正数(n³2)且，求证：证明：不等式左端即(1)∵，取，则(2)由柯西不等式有(3)及综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：三、排序不等式设a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，则有：a1bn+a2bn-1+…+anb1£a1br1+a2br2+…+anbrn£a1b1+a2b2+…+anbn反序和£乱序和£同序和例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/，则有证明：取两组数a1,a2,…,an；其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有例3.已知a,b,cÎR+求证：证明：不妨设a³b³c>0,则>0且a12³b12³c12>0则例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b10由排序不等式有：两式相加得又因为：a3³b3³c3>0,故两式相加得例6.切比雪不等式：若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,则a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则证明：由排序不等式有：a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn³a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn³a1b3+a2b4+…+anb2…………………………………………a1b1+a2b2+…+anbn³a1bn+a2b1+…+anbn-1将以上式子相加得：n(a1b1+a2b2+…+anbn)³a1(b1+b2+…+bn)+a2(b1+b2+…+bn)+…+an(b1+b2+…+bn)∴
