考点规范练10幂函数与二次函数一、基础巩固1.(2018贵州适应性考试)幂函数y=f(x)的图象经过点(3,❑√3),则f(x)是()A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数答案D解析设幂函数f(x)=xa,则f(3)=3a=❑√3,解得a=12,则f(x)=x12=❑√x,是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.2.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是()答案D解析由于本题中函数为y=xa(x>0)与y=logax,对于选项A,没有幂函数图象,故错误;对于选项B,由y=xa(x>0)的图象知a>1,而由y=logax的图象知0
0)的图象知01,故C错误;对于选项D,由y=xa(x>0)的图象知00时,x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,可知x=3;当x<0时,x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,可知x=-3;故f(x)的零点个数为2.故选B.5.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a<5a<0.5aB.5a<0.5a<5-aC.0.5a<5-a<5aD.5a<5-a<0.5a答案B解析5-a=(15)a.因为a<0,所以函数y=xa在(0,+∞)内单调递减.又15<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.6.已知f(x)=x3,若当x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≥32D.a≤32答案C解析f(x)在(-∞,+∞)内为奇函数且单调递增.∴由f(x2-ax)+f(1-x)≤0,得f(x2-ax)≤f(x-1),∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有{g(1)=1-a≤0,g(2)=3-2a≤0,解得a≥32.故选C.7.设α∈{-2,-1,-12,12,1,2},则使f(x)=xα为奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递减的α的值的个数是()A.1B.2C.3D.4答案A解析由f(x)=xα在区间(0,+∞)内单调递减,可知α<0.又因为f(x)=xα为奇函数,所以α只能取-1.8.若关于x的不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12]恒成立,则a的最小值是()A.0B.2C.-52D.-3答案C解析由x2+ax+1≥0得a≥-(x+1x)在x∈(0,12]上恒成立.令g(x)=-(x+1x),则g(x)在(0,12]上为增函数,所以g(x)max=g(12)=-52,所以a≥-52.9.已知二次函数f(x)的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为.答案f(x)=12(x-2)2-1解析依题意可设f(x)=a(x-2)2-1.∵函数图象过点(0,1),∴4a-1=1.∴a=12.∴f(x)=12(x-2)2-1.10.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为.答案2解析因为函数y=(m2-m-1)x-5m-3既是幂函数,又是(0,+∞)上的减函数,所以{m2-m-1=1,-5m-3<0,解得m=2.11.已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案[12,1]解析x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x∈[0,1],所以当x=0或1时,x2+y2取最大值1;当x=12时,x2+y2取最小值12.因此x2+y2的取值范围为[12,1].12.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)0),∴f(x)是定义在(0,+∞)内的减函数.又f(a+1)0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得{a>-1,a<5,a>3,∴30),若f(m)<0,则()A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<0答案C解析∵f(x)图象的对称轴为x=-12,f(0)=a>0,∴f(x)的大致图象如图所示.由f(m)<0,得-10,∴f(m+1)>f(0)>0.14.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0,即b2>4ac,①正确.对称轴为x=-1,即-b2a=-1,2a-b=0,②错误.结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a0的解集是实数集R;乙:00,符合ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;当a>0时,由ax2+2ax+1>0的解集是R可知Δ=4a2-4a<0,解得0
