课时作业11柱体与锥体的体积时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为(B)A．8cmB．80cmC．40cmD．cm解析：设正四棱柱的高为hcm，依题意得5×5×h＝2×103，解得h＝80(cm)．2．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为(B)A．3πB．πC．πD．π解析：设圆锥的底面半径为R，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h＝·2R＝R，所以·2R·R＝，解得R＝1.所以V＝×π×12×＝π.3．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是(D)A．B．C．D．或解析：当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝，底面面积S＝a2＝，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝，底面面积S′＝a′2＝，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝.所以正三棱柱的体积为或.4．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是(A)A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3解析：令母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr，∴l＝2r. l＝R，∴r＝R.高h＝＝＝R.∴V＝πr2h＝π·R2·R＝πR3.5．已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两个直角边为轴，旋转所形成的几何体的体积比为(B)A．abB．baC．a3b3D．b3a3解析：以a为轴的几何体的体积为，以b为轴的几何体的体积为，∴体积比为bA．6．设正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的，则它的体积是原来的(B)A．B．C．D．解析： V＝·S·h，h′＝h，S′＝S，∴＝.7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体体积为(D)A．B．C．D．解析：每个截去的小三棱锥体积为×(××)×＝×()4，则剩余部分的体积为V＝1－×()4×8＝1－＝.8．《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(B)A．B．C．D．解析：V＝πr2h≈L2h，而L＝2πr，则π＝.二、填空题9．一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为.解析：设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝.10．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为π.解析：本题考查圆锥的侧面积、体积以及圆锥中基本量的关系、运算，只需求出基本量代入公式即可．设圆锥底面半径为r，母线长为l，则，∴，∴圆锥的高h＝＝，∴V＝Sh＝×π×＝π.11．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为a3.解析： BA＝BC＝BD，∴B点在面ACD上的射影为△ACD的外心，即等腰Rt△ADC斜边中点O，OD＝a，∴OB＝a，∴V＝a2·a×＝a3.三、解答题12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥A－A1BD的体积及高．解：(1)V三棱锥A1－ABD＝S△ABD·A1A＝×·AB·AD·A1A＝a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1－ABD＝a3－a3＝a3.(2)V三棱锥A1－ABD＝V三棱锥A1－ABD＝a3.设三棱锥A－A1BD的高为h，则V三棱锥A1－ABD＝·S△A1BD·h＝××(a)2h＝a2h，故a2h＝a3，解得h＝A．13．如图所示，圆锥的轴截面为等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点．(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2，求此圆锥的体积．解：(1)证明：连接OC， SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC． OH平面SOC，∴QB⊥OH.又OH⊥SC，∴OH⊥平面SBQ.(2)连接AQ， Q为底面圆周上一点，AB为直径，∴AQ⊥QB．在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2，∴AB＝＝4. △SAB是等腰直角三角形，∴SO＝AB＝2.∴V圆锥＝π·OA2·SO＝π.——能力提升类——14．如图所示，正...
