课时分层作业(五)必要条件与充分条件(建议用时：40分钟)一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件A[若x>0，则x≠0.若x≠0，则x＞0或x＜0，所以x>0是x≠0的充分不必要条件，故选A.]2．设集合M＝，N＝，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件A[当a＝1时，N＝{1}⊆M，满足充分性；而当N＝{a2}⊆M时，可得a＝1或a＝－1或a＝或a＝－，不满足必要性，故选A.]3.“＝”是“x＝y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件B[若x＝－y＝1，则＝.但x≠y若x＝y，则＝，所以＝是x＝y的必要不充分条件，故选B.]4．下列条件中，是“x2<4”的必要不充分条件的是()A．1
1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由>1，得01”的必要不充分条件，故选B.]二、填空题6．在△ABC中，“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的________条件．[答案]充分不必要7．若“1－x<0”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围是________．a≤1[由题意得，⊆，故a≤1.]8．在下列四个结论中，正确的是________．(填上你认为正确的所有序号)①“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件；②已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab＞0；③“a≠0，Δ＝b2－4ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根”的充要条件；④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．①③[对于①，当x<0时，x＋＝0，且当x＋|x|＞0时，x＞0，可推出x≠0，故①对；对于②，当ab＝0时，＝＋，故②错；对于④，当x＝－1时，x2＝1，故④错；只有①③正确．]三、解答题9．是否存在实数m，使2x＋m<0是x2>1的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．[解]由x2>1，得x>1或x<－1，要使2x＋m<0是x2>1的充分条件，只需⊆，即只需－≤－1，解得m≥2所以，存在实数m≥2，使2x＋m<0是x2>1的充分条件．10．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.[证明](1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两个实根为x1，x2，由根与系数的关系知x1x2＝1>0，所以x1、x2同号；又因为x1＋x2＝－m≤－2，所以x1、x2同为负根．(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1、x2均为负，且x1x2＝1，所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝－＝－≥0，所以m≥2，综合(1)，(2)知命题得证．11．已知U是全集，p：A∪B＝U，q：∁UA＝B.则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[当A∩B≠∅时，∁UA≠B，即A∪B＝U∁UA＝B，且∁UA＝B⇒A∪B＝U，所以p是q的必要不充分条件．]12．设a，b∈R,则“(a－b)a2<0”是“a5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．a<5[由题意得，A是B的真子集，故a<5.]15．求证：方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？[证明]∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1、x2，则，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3.∴|a|≥>.∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>；但a＝2时，x＋x＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．
