2020-2021学年高考数学（理）考点：函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能．1．（2020•天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【解析】若函数恰有4个零点，则有四个根，即与有四个交点，当时，与图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当时，与轴交于两点，图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当时，与轴交于两点，在，内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需与在，还有两个交点，即可，即在，还有两个根，即在，还有两个根，函数，（当且仅当时，取等号），所以，且，所以，综上所述，的取值范围为，，．故选．2．（2019•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】函数在，的零点个数，即方程在区间，的根个数，即在区间，的根个数，即或在区间，的根个数，解得或或．所以函数在，的零点个数为3个．故选．3．（2017•新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则A．B．C．D．1【答案】C【解析】因为，所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解，等价于函数的图象与的图象只有一个交点．①当时，，此时有两个零点，矛盾；②当时，由于在上递增、在上递减，且在上递增、在上递减，所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为，由于，此时函数的图象与的图象有两个交点，矛盾；③当时，由于在上递增、在上递减，且在上递减、在上递增，所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为，由题可知点与点重合时满足条件，即，即，符合条件；综上所述，，方法二：，令，则为偶函数，图象关于对称，若有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当时，，所以．故选．4．（2020•上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是__________．【答案】，，，【解析】根据条件（1）可得或（1），又因为关于的方程无实数解，所以或1，故，，，，故答案为：，，，．5．（2018•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为__________．【答案】3【解析】，，，，，当时，，当时，，当时，，当时，，，，，或，或，故零点的个数为3，故答案为：3．6．（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则，当时，__________，__________．【答案】8；11【解析】，当时，化为：，解得，．故答案为：8；11．7．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，若（3），则__________．【答案】【解析】函数，若（3），可得：，可得．故答案为：．8．（2018•上海）设，函数，，若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程有两不同根，也就是有两不同根，，在上有两不同根．，或，．又，且，，仅有两解时，应有，则．的取值范围是．故答案为：．9．（2017•江苏）设是定义在上且周期为1的函数，在区间，上，，其中集合，，则方程的解的个数是__________．【答案】8【解析】在区间，上，，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又是定义在上且周期为1的函数，在区间，上，，此时的图象与有且只有一个交点；同理：区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图...
