第三节平面向量的数量积Ｋ一、平面向量的数量积的定义1．向量a，b的夹角：已知两个非零向量a，b，过O点作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a，b的夹角．当且仅当两个非零向量a，b同方向时，θ＝0°，当且仅当a，b反方向时，θ＝180°，同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的．2．a与b垂直：如果a，b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b
3．a与b的数量积：两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝cosθ，规定0·a＝0，非零向量a与b当且仅当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0
4．b在a方向上的投影：|OP|＝cosθ∈R(注意是射影)．5．a·b的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积．二、平面向量数量积的性质设a，b是两个非零向量，e是单位向量，于是有：1．e·a＝a·e＝cosθ
2．a⊥b⇔a·b＝0
3．当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝－，特别地，a·a＝a2＝，即|a|＝
4．cosθ＝
三、平面向量数量积的运算律1．交换律成立：a·b＝b·a
12．对实数的结合律成立：·b＝λ＝a·
3．分配律成立：·c＝a·c±b·c＝c·
四、平面向量数量积的坐标表示1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2
2．若a＝(x，y)，则|a|2＝a·a＝x2＋y2，＝
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝
4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
5．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0
6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝
Ｋ1．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则(λa＋b)⊥(a－
