高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时作业23 解三角形应用举例 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时作业23解三角形应用举例[基础达标]一、选择题1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．50mB．50mC．25mD.m解析：由正弦定理得AB＝＝＝50(m)．答案：A2．[2019·武汉三中月考]如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°方向上B．北偏西10°方向上C．南偏东80°方向上D．南偏西80°方向上解析：由条件及题图可知，∠A＝∠ABC＝40°，因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向上．答案：D3.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5mB．15mC．5mD．15m解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，解得BC＝15(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)．答案：D4．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A．5kmB．10kmC．5kmD．5km1解析：作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，∠B＝120°，AC＝15，由正弦定理，得＝，即BC＝＝5，即这时船与灯塔的距离是5km.答案：C5.如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为()A．700mB．640mC．600mD．560m解析：根据题意，可得在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝400，所以AM＝＝400.因为△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理，得AC＝＝＝400，在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400×＝600(m)．答案：C二、填空题6．[2019·山东省，湖北省部分中学质量检测]如图，在某岛附近海底某处有一条海防警戒线，在警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B点接收到发自水中P处的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，假设声波在水中的传播速度是1.5千米/秒，则P到海防警戒线的距离为________千米．解析：通解依题意知PA＝PC，设PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB中，AB＝20，则cos∠PAB＝＝＝，在△PAC中，AC＝50，则cos∠PAC＝＝＝.因为cos∠PAB＝cos∠PAC，所以＝，解得x＝31，过点P作PD⊥AC于点D，则AD＝25，在Rt△ADP中，PD＝＝4.故P到海防警戒线的距离为4千米．优解过点P作PD⊥AC于点D，设PB＝x，由题意知，PA＝PC＝x＋1.5×8＝x＋12，AD＝25，BD＝5，在Rt△PAD中，PD2＝PA2－AD2＝(x＋12)2－252，在Rt△PBD中，PD2＝PB2－BD2＝x2－52，则(x＋12)2－252＝x2－52，可得x＝19，故PD＝＝4，即P到海防警戒线的距离为4千米．答案：47．[2019·南昌市模拟]已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos(α－β)＝，则v＝________.解析：如图所示，AB＝150，AC＝200，根据题意可知∠B＝α，∠C＝β，因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝＝.在三角形ABC中，由正弦定理＝，得＝，得4sinβ＝3sinα，所以4sinβ＝3sin[β＋(α－β)]＝3[sinβcos(α－β)＋cosβsin(α－β)]＝3，整理得4sinβ＝3cosβ.2又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝，进而sinα＝，所以有sin2α＋sin2β＝1，所以α＝90°－β，所以∠BAC＝180°－(α＋β)＝90°，所以BC＝＝＝250，故v＝＝100.答案：1008．[2019·福建省高中质量检测]在平面四边形ABCD中，AB＝1，AC＝，BD⊥BC，BD＝2BC，则AD的最小值为________．解析：设∠BAC＝α，∠ABD＝β(β∈(0，π))，则∠ABC＝β＋.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosα＝6－2cosα，由正弦定理，得＝，即BC＝.在△ABD...