高考数学复习点拨 关注身边的非线性回归问题VIP免费

关注身边的非线形回归问题在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解。若两个变量不呈线性关系，则不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，我们可以通过变换的方法将其转化为线性回归模型。以下两例，供参考：例1在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式0bxyAeb表示，现测得试验数据如下：ix0．050．060．250．310．070．100．380．430．140．200．47iy0．100．141．001．120．230．371．191．250．590．791．29试求y对x的回归方程。分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为bxyAe类型，我们只要通过所给的11对样本数据，求出A和b即可确定x与y的相关关系的曲线方程。解析：由题意可知，对于给定的公式0bxyAeb两边取自然对数，得lnlnbyAx。与线性回归方程对照可以看出，只要取1ux，ln,lnvyaA，就有vabu，这是vu对的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b和a题目中所给数据由变量置换1ux，lnvy变为如下所示的数据：iu20．00016．6674．0003．22614．28610．000iv-2．303-1．9660．0000．113-1．470-0．994iu2.6322.3267.1435.0002.128iv0.1740.223-0.528-0.2360.255可以求得0.998r。由于0.9980.75r，可知u与v具有很强的线性相关关系。再求得0.14,0.548ba，用心爱心专心∴ˆ0.5480.146vu，把u和v置换回来可得0.146ˆln0.548yx，∴0.1460.1460.1460.5480.548ˆ1.73xxxyeeee，∴回归曲线方程为0.146ˆ1.73xye。评注：解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤。例2在试验中得到变量y与x的数据如下：x0.06670.03380.03330.02730.0225y39.442.941.043.149.2由经验知，y与1x之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程；当00.038x时，预测0y的值。分析：通过换元转化为线性回归问题。解析：令1ux，由题目所给数据可得下表所示的数据‘序号iuiy2iu2iyiiuy115．039．42251552．36591225．842．9665．641840．411106．82330．041．090016811230436．643．11339．561857．611577．46544．449．21971．362420．642184．48合计151．8215．65101．569352．026689．76计算得0.29,34.32ba，∴34.320.29yu故所求回归曲线方程为0.2934.32yx，当00.038x时，0.2934.3241.950.038y。评注：非线性问题有时并不给出经验公式，此时我们可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与已经学习过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二用心爱心专心次函数等作比较，挑选出跟这些散点拟合最好的函数，然后再采用变量的置换，把问题转化为线性回归分析问题，使问题得以解决。用心爱心专心