高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆 第2课时 直线与椭圆的位置关系练习 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2课时直线与椭圆的位置关系[基础题组练]1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0解析：选B.由题意知，>2，即<2，所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.2．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A．－B．－C．－D．－解析：选A.设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144，4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.3．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是()A.B．C.D．2解析：选B.由条件知c＝1，e＝＝，所以a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0，1)，，所以|AB|＝.4．(2020·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为()A.B．C.D．解析：选B.由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又AF＝2FB，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得所以＝，所以e＝，故选B.5．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OP＋OF2)·PF2＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是()A．4B．3C．2D．1解析：选D.因为(OP＋OF2)·PF2＝(OP＋F1O)·PF2＝F1P·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，mn＝2，所以S△F1PF2＝mn＝1.6．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．1由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.则|AB|＝＝＝＝.答案：7．直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．解析：由点差法可求出k1＝－·，所以k1·＝－，即k1k2＝－.答案：－8.从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，所以－＝－，y0＝，把P代入椭圆方程得＋＝1，所以＝，所以e＝＝.答案：9．已知椭圆E的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是3.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．解：(1)由题意得b＝1.右焦点(c，0)(c>0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝3，所以c＝.所以a＝＝，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2，此时直线l的方程为x＝0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，所以xA＝0，xB＝，所以|AB|＝，|AB|2＝.令t＝1＋3k2，t∈(1，＋∞)，则|AB|2＝4×，所以当＝，即k2＝1，得k＝±1时，|AB|2取得最大值为，即|AB|的最大值为，此时直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.因为2<，所以当弦AB的长度最大时，直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.10．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．解：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，所以r1＝a，r2＝a.在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，解得a＝2，因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)联立方程，得，消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设...