第八节函数与方程A组基础题组1.设f(x)是区间[-1,1]上的增函数,且f(-12)·f(12)<0,则方程f(x)=0在区间[-1,1]内()A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根答案C f(x)在区间[-1,1]上是增函数,且f(-12)·f(12)<0,∴f(x)在区间[-12,12]上有唯一的零点.∴方程f(x)=0在区间[-1,1]内有唯一的实数根.2.已知函数f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)答案C f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=64-log24=-12<0,∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.3.设函数f(x)=lnx-2x+6,则函数的零点的个数为()A.3B.2C.1D.0答案B令f(x)=0,则lnx=2x-6,令g(x)=lnx,h(x)=2x-6(x>0),在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,如图所示,两个函数图象的交点个数就是函数f(x)零点的个数,容易看出函数f(x)零点的个数为2,故选B.14.已知函数f(x)={1,x≤0,1x,x>0,则使方程x+f(x)=m有解的实数m的取值范围是()A.(1,2)B.(-∞,-2]C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,1]∪[2,+∞)答案D当x≤0时,x+f(x)=m,即x+1=m,解得m≤1;当x>0时,x+f(x)=m,即x+1x=m,解得m≥2,即实数m的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).故选D.5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-√7,1,3}D.{-2-√7,1,3}答案D令x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-x2-3x.所以当x≥0时,g(x)=x2-4x+3.令g(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当x<0时,g(x)=-x2-4x+3.令g(x)=0,即x2+4x-3=0,解得x=-2+√7>0(舍去)或x=-2-√7.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为{-2-√7,1,3}.6.已知f(x)={x+3,x≤1,-x2+2x+3,x>1,则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数为.答案2解析函数g(x)=f(x)-ex的零点个数即函数y=f(x)与y=ex的图象的交点个数.作出函数图象可知有2个交点,即函数g(x)=f(x)-ex有2个零点.7.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)>0的解集是.答案{x|-32
0,即-(4x2+2x-6)>0⇔2x2+x-3<0,解得-320).(1)作出函数f(x)的图象;(2)当00,x+1,x≤0.(1)求g(f(1))的值;(2)若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.解析(1)g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2.(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在(-∞,1)上有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象如图,由图象可知,当1≤a≤54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即a的取值范围是[1,54).B组提升题组1.已知函数f(x)=(15)x-log3x,若x0是函数y=f(x)的零点,且0f(x0).又x0是函数f(x)的零点,因此f(x0)=0,所以f(x1)>0,即f(x1)的值恒为正,故选A.2.(2018河南郑州质检)已知函数f(x)=(12)x-cosx,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为.4答案3解析令f(x)=0,则(12)x=cosx.令g(x)=(12)x,h(x)=cosx.作出g(x)=(12...
