高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数yAsin（ωxφ）的图象例题与探究 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

1.5函数y=Asin（ωx+ψ）的图象典题精讲例1要得到函数y=sin(2x-)的图象，需将y=sinx的图象（）A.先把每个x的值扩大4倍，y值不变，再向右平移个单位B.先把每个x的值缩小，y值不变，再向左平移个单位C.先把每个x的值扩大4倍，y值不变，再向左平移个单位D.先把每个x的值缩小，y值不变，再向右平移个单位思路解析：比较前后两个函数的各个参数的变化情况，然后就可以知道图象需要进行怎样的相应移动了.x→2x，先缩小，又∵-＜0，∴右移.答案：D黑色陷阱：y=sinx变换成y=sin2x是把每个x值缩小，错误地认为是扩大4倍，这样就错选A或C；把y=sin2x变换成y=sin(2x-)，即变为y=sin2(x-)，则应当向右平移，错误地认为是平移，这样导致错选A或B；也可能在平移的时候搞错方向.变式训练(四川高考卷，理5)下列函数中，图象的一部分如图1-5-1所示的是（）图1-5-1A.y=sin(x+)B.y=sin(2x-)C.y=cos(4x-)D.y=cos(2x-)思路解析：从图象看出，T=+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，即y=sin2(x+）=sin(2x+)=cos(+2x+)=cos(2x-).答案：D例2图1-5-2是正弦函数y1=Asin(ωx+φ)的一个周期的图象.图1-5-2（1）写出y1的解析式；（2）若y2与y1的图象关于直线x=2对称，写出y2的解析式；（3）指出y2的周期、频率、振幅和初相.思路分析：给出了函数的图象，从图象中可以得到相关的一些信息，如函数的周期、最大值和最小值等.本题也是一道识图题，解题的关键是找到关键点确定φ.解：（1）由图易知,A=2,T=7-(-1)=8,∴ω===.∴y1=2sin(x+φ)，将点（-1，0）代入得2sin(-+φ)=0.∴φ=.∴y1=2sin(x+).（2）作出与y1的图象关于直线x=2对称的图象，可以看出y2的图象相当于将y1的图象向右平移2个单位得到的.∴y2=2sin［(x-2)-］=2sin(x-).（3）因为y1和y2两个函数关于直线x=2对称，所以它们的图形应该是完全一样的.从函数y1图象上可以看出，该函数的周期T=8，振幅A=2,初相φ=，频率f=.绿色通道：这是一道识图题.所谓识图，就是通过所给的图象找到函数的特征及解题的信息，实际上是对观察能力和信息加工能力的考查.就三角函数的图象来说，应能从图象上发现函数的最值、周期、对称性、对应的函数值等.变式训练(2006江苏高考卷，4)为了得到函数y=2sin(+),x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点（）A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）思路解析：先将y=2sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数y=2sin(x+),x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数y=2sin(+),x∈R的图象.答案：C问题探究问题变化后的三角函数，其图象可以利用原始的函数图象变换得到，在变化的过程中应注意哪些问题呢?导思：图象变换的两种途径是：先相位变换后周期变换（先平移再伸缩）；先周期变换后相位变换（先伸缩再平移）.y=Asin(ωx+φ)的图象可以由y=sinx的图象先左右平移，再横坐标伸缩得到，也可以先横坐标伸缩，再左右平移得到，但这时平移的单位就不再相同前者平移|φ|个单位，后者平移||个单位.探究：(1)三角函数图象的变换,重点考查了平移.沿x轴平移,按“左加右减”的法则；沿y平移，按“上加下减”的法则.（2）在作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变换，请切记都是针对字母x而言的，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.例如：函数y=sin2x向右平移个单位，得到的图象应该是y=sin2(x-)，而不是y=sin(2x-)；再例如：将y=sin(x+)的图象上各点的横坐标扩大到原来的两倍（纵坐标不变）得到的图象的表达式应该是y=sin(+)，而不是y=sin2(x+).