高考数学二轮复习 每日一题 规范练（第六周）文（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

每日一题规范练(第六周)[题目1]f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．解：(1)因为f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以函数f(x)的最小正周期为π.又x∈，所以2x＋∈，所以sin∈，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.(2)因为f(x0)＝2sin＝，所以sin＝，又x0∈，知2x0＋∈，所以cos＝－＝－，所以cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.[题目2]已知数列{an}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足bn＝a2n－1，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求使b1＋b2＋…＋bn＞2019成立的最小正整数n的值．解：(1)令n＝1，则a1－2a2＋a3＝0，得a2＝5.又由an－2an＋1＋an＋2＝0，得an＋an＋2＝2an＋1(n∈N*)，故数列{an}是首项a1＝3，公差d＝2的等差数列．所以an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.于是bn＝a2n－1＝2·2n－1＋1＝2n＋1.(2)由(1)可知，bn＝2n＋1.于是b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.令f(n)＝2n＋1＋n－2，易知f(n)是关于n的递增函数．又f(9)＝210＋9－2＝1031，f(10)＝211＋10－2＝2056.故使b1＋b2＋…＋bn＞2019成立的最小正整数n的值是10.[题目3]如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝2，E是AB的中点，G是PD的中点．(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)求证：AG∥平面PEC；(3)求证：平面PCD⊥平面PEC.(1)解：易知V四棱锥P-ABCD＝S正方形ABCD·PA＝×2×2×2＝.(2)证明：如图，取PC的中点F，连接EF和FG，则易得AE∥FG，且AE＝CD＝FG，所以四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG.因为EF⊂平面PEC，AG⊄平面PEC，所以AG∥平面PEC.(3)证明：易知CD⊥AD，CD⊥PA，因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG.易知PD⊥AG，因为PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AG⊥平面PCD，所以EF⊥平面PCD.又EF⊂平面PEC，所以平面PEC⊥平面PCD.[题目4]2019年国际篮联篮球世界杯，于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举办．为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否会收看篮球世界杯赛进行了问卷调查，统计数据如下：项目会收看不会收看男生6020女生2020(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关？(2)现从参与问卷调查且会收看篮球世界杯赛的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取4人参加2019年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动．(ⅰ)求男、女学生各选取多少人；(ⅱ)若从这4人中随机选取2人到校广播开展2019年国际篮联篮球世界杯宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.010.005k02.7063.8415.0246.6357.879解：(1)因为K2＝＝7.5＞6.635，所以有99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关．(2)(ⅰ)根据分层抽样的知识得，选取的男生有×4＝3(人)，女生有×4＝1(人)，所以选取的4人中，男生有3人，女生有1人．(ⅱ)设选取的3名男生分别为A，B，C，1名女生为甲．从4人中随机选取2人，有(A，B)，(A，C)，(A，甲)，(B，C)，(B，甲)，(C，甲)，共6种情形，其中恰好选到2名男生，有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种情形．所以所求概率P＝＝.[题目5]已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，且|F1F2|＝2.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆的下顶点为B，过右焦点F2作与直线BF2关于x轴对称的直线l，且直线l与椭圆分别交于点M，N，O为坐标原点，求△OMN的面积．解：(1)由题设，得解之得所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)依题意，直线l与直线BF2关于x轴对称，所以kl＋kBF2＝0.由(1)问的椭圆方程＋y2＝1，知F2(1，0)，B(0，－1)．所以kBF2＝＝1，从而kl＝－1，所以直线l的方程为y－0＝－1×(x－1)，即x＋y－1＝0.联立方程⇒3x2－4x＝0.解得x＝0或x＝.设M(x1，y1)，N(x2，y2)．不妨设x1＝0，x2＝.所以当x1＝0时，y1＝1；当x2＝时，y2＝－.所以M(0，1)...