第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念一、填空题1.以下对象的全体能够构成集合的是________．(填序号)①中国古代四大发明；②地球上的小河流；③方程x2－1＝0的实数解；④周长为10cm的三角形．答案：①③④解析：根据集合中元素的特征，可知①③④符合．2.下面有四个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a不属于N，则a属于N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④x2＋1＝2x的解集可表示为{1，1}．其中正确命题的个数为________.答案：0解析：①最小的数应该是0；②反例：－0.5∉N，但0.5∉N；③反例：当a＝0，b＝1时，a＋b＝1；④不满足元素的互异性．3.下列集合中表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}；②M＝{2，3}，N＝{3，2}；③M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}；④M＝{2，3}，N＝{(2，3)}．答案：②解析：①中的集合M表示由点(3，2)所组成的单点集，集合N表示由点(2，3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合；③中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合；④中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合；对于②，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．4.方程组的解集是____________．答案：{(5，－4)}解析：由得该方程组的解集为{(5，－4)}．5.设集合A＝{3，m}，B＝{3m，3}，且A＝B，则实数m的值是____________．答案：0解析：由{3，m}＝{3m，3}，得m＝3m，m＝0.6.设非空数集M⊆{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有________个．答案：6解析：集合{1，2，3}的所有子集共有23＝8(个)，不含奇数元素的集合有{2}，∅，共2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)．7.已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则B⊆A时，a＝________．答案：1或2解析：验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．验证a＝3时B＝，不满足条件．8.已知集合A＝{a}，B＝{x|x2－5x＋4<0，x∈Z}，若A⊆B，则a等于________．答案：2或3解析：由题意可得B＝{x|10}．若A⊆B，则实数c的取值范围是________．答案：[1，＋∞)解析：A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)，因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.二、解答题11.已知集合A＝{x|＞0}，B＝{x|x2－2x－a2－2a＜0}．若A⊆B，求实数a的取值范围．1解：B＝{x|(x＋a)(x－a－2)<0}，①当a＝－1时，B＝∅，∴A⊆B不成立；②当a＋2>－a，即a>－1时，B＝(－a，a＋2)． A⊆B，∴解得a≥5；③当a＋2<－a，即a<－1时，B＝(a＋2，－a)． A⊆B，∴解得a≤－7.综上，实数a的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．12.设集合A的元素为实数，且满足①1∉A，②若a∈A，则∈A.(1)若2∈A，试求集合A；(2)若a∈A，试求集合A；(3)集合A能否为单元素集合？若能，求出该集合；若不能，请说明理由．解：(1)由题意知＝－1∈A，＝∈A，而＝2，∴A＝.(2)由题意知∈A，＝∈A，而＝a.∴A＝.(3)假设A为单元素集合，则必有＝a＝，∴a为a2－a＋1＝0的根． a2－a＋1＝0无实根，∴这样的a不存在，即A不可能是单元素集合．13.(2018·溧阳中学周练)已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．(1)若c∈C，问是否存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b.(2)对于任意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论．解：(1)令c＝6m＋3(m∈Z)，则c＝3m＋1＋3m＋2.再令a＝3m＋1，b＝3m＋2，则c＝a＋b.故若c∈C，存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b成立．(2)不一定有a＋b∈C.证明如下：设a＝3m＋1，b＝3n＋2(m，n∈Z)，则a＋b＝3(m＋n)＋3.因为m，n∈Z，所以m＋n∈Z.若m...
