高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题07 三角化简的技巧与方法 文（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题07三角化简的技巧与方法一、本专题要特别小心：1.角的范围问题2.角的一致性问题3.三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7.角的范围对函数性质的影响8.用已知角表示未知角问题二．方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.三【题型方法】（一）用已知角表示未知角1．（2018年全国卷II文）已知，则__________．【答案】.【解析】：，解方程得.练习1．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.练习2．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.练习3．已知的内角满足，则的最大值为______．【答案】【解析】的内角满足，且，即为钝角，，又，，即，当且仅当时，取等号，故的最大值为，故答案为.（二）“1”的变通例2.已知f(x)＝sin2x－2sin·sin.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈，求f(x)的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin·cos＝＋sin2x＋sin＝＋(sin2x－cos2x)＋cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋.由tanα＝2，得sin2α＝＝＝.cos2α＝＝＝－.所以f(α)＝(sin2α＋cos2α)＋＝.(2)由(1)得f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin＋.由x∈，得≤2x＋≤.∴－≤sin≤1，0≤f(x)≤，所以f(x)的取值范围是.练习1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B。（三）降幂公式的灵活应用例3.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的零点.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）令，得，∴函数的单调递增区间为.（2）由，得：.∴，∴， ，∴，即函数在上的零点是.练习1.cos475°-sin475°的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，可知．故选：A．练习2.已知f(x)=sin(x+)cos(x+)+(x+)-(||<),若f(0)=,a=f(),b=f(），c=f（），则（）A．a