圆的方程——教材解读一、知识清点（一）圆的标准方程1．圆的标准方程222()()xaybr(0)r，其中圆心为(,)ab，半径为r。（1）圆的标准方程是利用圆的定义与两点间的距离公式推导出来的；（2）由于方程的右端20r，故当右端小于0或等于0时不是圆的方程；（3）当圆心为圆点时，方程化为222xyr。2．确定圆方程的条件圆的标准方程中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此，确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。3．点与圆的位置关系设点00(,)Pxy到圆C：222()()xaybr的圆心C的距离为d，则2200()()dPCxayb。当dr，即当22200()()xaybr时，点P在圆C的外部；当dr，即当22200()()xaybr时，点P在圆C的内部；当dr，即当22200()()xaybr时，点P在圆C上。4．几种特殊位置的圆的方程条件方程形式圆心在原点222(0)xyrr过原点222222()()(0)xaybabab圆心在x轴上222()(0)xayrr用心爱心专心圆心在y轴上222()(0)xybrr圆心在x轴上且过原点222()(0)xayaa圆心在y轴上且过原点222()(0)xybbb圆与x轴相切222()()(0)xaybbb圆与y轴相切222()()(0)xaybaa圆与两坐标轴都相切222()()(0)xaybaab（二）圆的一般方程1．当2240DEF时，方程220xyDxEyF叫做圆的一般方程。（1）当2240DEF时，方程220xyDxEyF表示以,22DE为圆心，22142DEF为半径的圆；（2）当2240DEF时，方程220xyDxEyF表示一个点,22DE；（3）当2240DEF时，方程220xyDxEyF不表示任何图形。2．圆的一般方程形式特点（1）22,xy的系数相同且不等于零；（2x和2y项的系数如果为不是1的非零常数，只需在方程两边除以这个数即可）（2）不含xy项。上述两个特点是二元二次方程220AxBxyCyDXEyF表示圆必须具备的条件，利用这两个条件，可以判断哪些二元二次方程的曲线肯定不是圆。二、范例剖析用心爱心专心例1求经过两点(2,3)A，(2,5)B且圆心在直线230xy上的圆的方程。分析：关键是求圆心和半径。解析：法1：设所求圆的标准方程为222()()xaybr，则222222(2)(3)(2)(5)230abrabrab，解得21210abr。∴所求圆的方程为22(1)(2)10xy。法2：由已知条件知圆心为AB的中垂线与230xy的交点，且12ABk，AB中点为(0,4)，∴AB的中垂线的方程为240xy，由240230xyxy，得12xy，∴圆心为(1,2)，222(21)(32)10r，∴所求圆的方程为22(1)(2)10xy。评注：法1运用了待定系数法，法2运用了圆的几何性质，这两种方法在解析几何中经常使用，要注意选择恰当的方法。例2求经过点(2,4)A且与直线l：3260xy相切于点(8,6)B的圆的方程。分析1：由于点(2,4)A，(8,6)B是所求圆上的点，从而得到了求圆的方程的两个条件；又由点B为切点可知，圆心与点B的连线与直线l垂直，得到关于待定系数的三个方程，从而可解之。解法1：设所求圆的方程为220xyDxEyF，则圆心为,22DE，用心爱心专心∴6282CBEkD。∴6121382ED，①又22(2)(4)240DEF，②2286860DEF，③解①、②、③可得11D，3E，30F。故所求圆的方程为22113300xyxy。分析2：设所求圆心为(,)Cab，只要其坐标确定，所求圆的半径随之被确定，由平面几何知识知，弦的垂直平分线经过圆心，可建立关系解决之。解法2：设圆的圆心为C，则CBl，从而可得CB所在的直线方程为63(8)yx，即3180xy，①由(2,4)A，(8,6)B得AB的中点坐标为(3,1)，又64182ABk，∴AB的垂直平分线方程为1(3)yx,即40xy，②由①②联立得11232xy，即圆心坐标为113,22。∴所求圆的半径为2211312586...
