6.2.3平面向量的坐标及其运算[A基础达标]1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝解析：选B.A中向量e1为零向量，所以e1∥e2；C中e1＝e2，所以e1∥e2；D中e1＝4e2，所以e1∥e2，故选B.2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且MP＝MN，则点P的坐标为()A．(－8，1)B.C.D．(8，－1)解析：选C.因为MP＝MN，所以OP－OM＝(ON－OM)，OP＝OM＋ON＝(3，－2)＋(－5，－1)＝，即点P坐标为.3．已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于()A．(－2，－2)B．(2，2)C．(－2，2)D．(2，－2)解析：选D.由已知得2a－b＝(2，4)，a＋b＝(4，－10)，所以3a＝(6，－6)，a＝(2，－2)．4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于()A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－4，6)D．(4，－6)解析：选D.因为4a，3b－2a，c对应的有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．5．已知点A(1，2)，B(2，4)，C(－3，5)．若BP＝BA＋mBC，且点P在y轴上，则m＝()A．－2B.C．－D．2解析：选B.设P(x，y)，由题意AP＝mBC，所以所以P(－5m＋1，m＋2)，又点P在y轴上，所以－5m＋1＝0，m＝.6．已知A(－1，4)，B(x，－2)，若C(3，3)在直线AB上，则x＝________．解析：AB＝(x＋1，－6)，AC＝(4，－1)，因为AB∥AC，所以－(x＋1)＋24＝0，所以x＝23.答案：237．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，所以＝4.答案：48．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝________．解析：由c＝λ1a＋λ2b，得(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)，所以解得λ1＝－1，λ2＝2，所以λ1＋λ2＝1.答案：19．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，1)，c＝(5，2)，m＝λb＋c(λ为常数)．(1)求a＋b；(2)若a与m平行，求实数λ的值．解：(1)因为a＝(2，1)，b＝(1，1)，所以a＋b＝(2，1)＋(1，1)＝(3，2)．(2)因为b＝(1，1)，c＝(5，2)，所以m＝λb＋c＝λ(1，1)＋(5，2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a＝(2，1)，且a与m平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.10．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，所以解得[B能力提升]11．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设OC＝λOA＋(1－λ)OB(λ∈R)，则λ的值为()A.B.C.D.解析：选C.如图所示，因为∠AOC＝45°，设C(x，－x)，则OC＝(x，－x)．又因为A(－3，0)，B(0，2)，所以λOA＋(1－λ)OB＝(－3λ，2－2λ)，所以⇒λ＝.12．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D.因为a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c与d反向．13．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即AB与AC不共线．因为AB＝OB－OA＝(3，1)，AC＝OC－OA＝(2－m，1－m)，所以3(1－m)≠2－m，即m≠.答案：m≠[C拓展探究]14．如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足P1P＝λPP2.(1)用P1，P2的坐标表示P的坐标；(2)当λ＝0，1时，P，P1，P2之间有何关系？解：(1)因为P1P＝λPP2，所以(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，即解得所以点P的坐标为(，)．(2)当λ＝0时，P点的坐标为(x1，y1)，即点P，P1重合；当λ＝1时，P点的坐标为(，)，即点P为P1P2的中点．
