课时跟踪训练(二十八)平面向量的综合应用[基础巩固]一、选择题1．(2018·银川调研)若平面四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是()A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形[解析]由AB＋CD＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(AB－AD)·AC＝0得DB·AC＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.[答案]C2．(2017·湖南省五市十校高三联考)△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则向量a，b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°[解析]解法一：设向量a，b的夹角为θ，BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，∴|BC|＝|b|＝2，|AB|＝2|a|＝2，∴|a|＝1，AC2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝8＋8cosθ＝4，∴cosθ＝－，θ＝120°.解法二：BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，则向量a，b的夹角为向量AB与BC的夹角，故向量a，b的夹角为120°.[答案]C3．(2017·云南省高三统一检测)在▱ABCD中，|AB|＝8，|AD|＝6，N为DC的中点，BM＝2MC，则AM·NM＝()A．48B．36C．24D．12[解析]AM·NM＝(AB＋BM)·(NC＋CM)＝·＝AB2－AD2＝×82－×62＝24，故选C.[答案]C4．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC＝()A.B.C．2D.[解析]设角A，B，C的对边分别为a，b，c.AB·BC＝1，即accosB＝－1.在△ABC中，根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及AB＝c＝2，AC＝b＝3，可得a2＝3，即a＝.[答案]A5．(2018·河南郑州七校联考)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.B．2C．5D．10[解析]依题意得，AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0.所以AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为|AC|·|BD|＝××＝5.[答案]C6．(2018·福建高三质检)△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝1，设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC.若BQ·CP＝－2，则λ＝()A.B.1C.D．2[解析]以点A为坐标原点，以AB的方向为x轴的正方向，以AC的方向为y轴的正方向，建立如图平面直角坐标系，由题知B(2,0)，C(0,1)，P(2λ，0)，Q(0,1－λ)，BQ＝(－2,1－λ)，CP＝(2λ，－1)． BQ·CP＝－2，∴1＋3λ＝2，解得λ＝，故选A.[答案]A二、填空题7．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．[解析]由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.[答案]90°8．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．[解析]由题意可得a·b＝cosθ－sinθ＝2cos，则|2a－b|＝＝＝∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.[答案]49．(2018·湖北襄阳优质高中联考)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．[解析]如图，以A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)．设F(m,2)，0≤m≤，由AF·AB＝(m,2)·(，0)＝m＝，得m＝1，则F(1,2)，所以AE·BF＝(，1)·(1－，2)＝.[答案]三、解答题10．已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(－1,2)，点C在第二象限，AB＝(2,2)，且AB与AC的夹角为，AB·AC＝2.(1)求点D的坐标；2(2)当m为何值时，AC＋mAB与BC垂直．[解](1)设C(x，y)，D(m，n)，则AC＝(x＋1，y－2)． AB与AC的夹角为，AB·AC＝2.∴＝＝，化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.①又AB·AC＝2(x＋1)＋2(y－2)＝2，化为x＋y＝2.②联立①②解得或又点C在第二象限，∴C(－1,3)．又CD＝BA，∴(m＋1，n－3)＝(－2，－2)，解得m＝－3，n＝1.∴D(－3,1)．(2)由(1)可知AC＝(0,1)，∴AC＋mAB＝(2m,2m＋1)，BC＝AC－AB＝(－2，－1)． AC＋mAB与BC垂直，∴(AC＋mAB)·BC＝－4m－(2m＋1)＝0，解得m＝－.[能力提升]11．在△ABC中，已知向量AB与AC满足·BC＝0，且·＝，则△ABC为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形[解析]因为，分别为AB，AC方向上的单位向量，故由·BC＝0可得BC⊥AM(M是∠BAC的平分线与BC的交点)，所以△ABC是以BC为底边的等腰三角形，又·＝，所以∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形．[答案]A12．(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是...
