高考数学二轮复习 分层特训卷 主观题专练 解析几何（9） 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

解析几何(9)1．[2019·山东夏津一中月考]已知圆C的圆心在直线x＋y＋1＝0上，半径为5，且圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)．(1)求圆C的标准方程；(2)求过点A(－3,0)且与圆C相切的切线方程．解析：(1)设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝25，点C在直线x＋y＋1＝0上，则有a＋b＋1＝0.圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)，则解得a＝2，b＝－3.所以圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25.(2)设所求直线为l.①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程是x＝－3，与圆C相切，符合题意．②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0.由题意知，圆心C(2，－3)到直线l的距离等于半径5，即＝5，解得k＝，故切线方程是y＝(x＋3)．综上，所求切线方程是x＝－3或y＝(x＋3)．2．[2019·四川省南充市高考适应性考试]如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．解析：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得消去x，得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0.|AB|＝|y1－y2|＝·＝·＝4(m2＋1)．所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，所以直线l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0.3．[2019·河北衡水模拟]如图，在平面直角坐标系xOy中，点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，|TS|是否为定值？请说明理由．解析：(1)依题意知，R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．连接QF， 点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.又PQ⊥l，∴|PQ|是点Q到直线l的距离，故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x.(2)|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，点M到y轴的距离d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝，则|TS|＝2＝2， 点M在曲线C上，∴x0＝，∴|TS|＝2＝2，是定值．4．[2019·江西南昌一中模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．解析：(1)由题意知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.则Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1.①x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，所以4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，则(4k2－5)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0，所以(4k2－5)·＋4km·＋4m2＝0，化简得m2＋k2＝.②由①②得0≤m2＜，＜k2≤.因为原点O到直线l的距离d＝，所以d2＝＝＝－1＋，又＜k2≤，所以0≤d2＜，解得0≤d＜.所以原点O到直线l的距离的取值范围为.5．[2019·北京卷，18]已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．解析：本题主要考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系等知识，考查考生的运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)抛物线C的焦点为F(0，－1)．设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．由得x2＋4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝x.令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－.同理得点B的横坐标xB＝－.设点D(0，n)，则DA＝，DB＝，...