课时作业49抛物线[基础达标]一、选择题1．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x解析：因为抛物线y2＝2px，所以准线为x＝－.因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，所以＝4，所以p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.答案：C2．[2019·广东珠海模拟]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于()A.B.C.D.解析：由抛物线y2＝4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义可知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(－1,2)，所以kAF＝＝－，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.答案：B3．[2019·福州质量检测]在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.过F的直线交C于A，B两点，交l于点E，直线AO交l于点D.若|BE|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|BD|＝()A．1B．3C．3或9D．1或9解析：分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，依题意，易证BD∥x轴，所以D与B1重合．由已知条件|BE|＝2|BF|得，|BE|＝2|BB1|，所以∠BEB1＝30°.又|AA1|＝|AF|＝3，如图1，＝，所以＝，解得|BD|＝1，如图2，＝，所以＝，解得|BD|＝9.综上，|BD|为1或9，故选D.答案：D4．[2019·河南百校联盟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝(O为坐标原点)，则OM·MF＝()A．－B.C.D．－解析：不妨设M(m，)(m>0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|＝|MF|＝，所以解得m＝，p＝2，所以OM＝，MF＝，所以OM·MF＝－2＝－.故选A.答案：A5．[2019·湖南岳阳模拟]若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A．5pB．10pC．11pD．12p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p， 直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p，故选B.答案：B二、填空题6．[2019·长沙市，南昌市部分学校联合模拟]已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为1F(3,0)，P1，P2，…，P2017是抛物线C上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x2017，若x1＋x2＋…＋x2017＝2017，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2017F|＝________.解析：因为抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，所以抛物线C的方程为y2＝12x，其准线方程为x＝－3.由抛物线的定义可得|PiF|＝xi＋3(i＝1,2，…，2017)，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2017F|＝(x1＋3)＋(x2＋3)＋…＋(x2017＋3)＝x1＋x2＋…＋x2017＋3×2017＝8068.答案：80687．[2019·宝安，潮阳，桂城八校联考]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：解法一由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|＝3，由抛物线的定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，所以点A的纵坐标为2，即A(2,2)，所以直线AF的方程为y＝2(x－1)．由解得或所以点B的横坐标为，所以|BF|＝.解法二如图，不妨设点A在第一象限，设∠AFx＝θ，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由抛物线的定义知xA＋1＝2＋3cosθ＝3，解得cosθ＝.又|BF|＝xB＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－|BF|，所以|BF|＝.答案：8．[2019·合肥质量检测]抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂直PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，其中x>0，y>0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y，则⇒或(舍去)．所以点P的坐标为(4,4)．答案：(4,4)三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．解析：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c.设抛物线方程为y2＝4c·x， 抛物线过点，∴6＝4c·.∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x.又双曲线－＝1过点，∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴－＝1.∴a2＝...
