高考数学一轮复习 3.8正弦定理和余弦定理的应用课时达标训练 文 湘教版-湘教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

2016届高考数学一轮复习3.8正弦定理和余弦定理的应用课时达标训练文湘教版一、选择题1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°【解析】由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.【答案】B2．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进900m后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进300m后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为()A．300mB．450mC．300mD．600m【解析】由题图所示，易知，在△ADE中，∠DAE＝2α，∠ADE＝180°－4α，∠ADE＝2α，AD＝300m，同理，AE＝EC＝900m，由正弦定理，得＝，解得cos2α＝，则sin2α＝，sin4α＝，所以在Rt△ABC中山峰的高度h＝300sin4α＝300×＝450(m)．【答案】B3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是()A．100mB．400mC．200mD．500m【解析】由题意画出示意图，1设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．【答案】D4．一艘海轮从A处出发，以40海里/时的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里【解析】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．【答案】A5．如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()2A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m【解析】在△ACE中，tan30°＝＝.∴AE＝(m)．在△AED中，tan45°＝＝，∴AE＝(m)，∴＝，∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)．【答案】C6．(2014·宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想知道门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺量得BC＝9m，利用测角仪测得仰角∠ACB＝45°，测得仰角∠BCD后通过计算得到sin∠ACD＝，则AD的距离为()A．2mB．2.5mC．3mD．4m【解析】设AD＝x，则BD＝9－x，CD＝，在△ACD中应用正弦定理得＝，即＝，所以2[92＋(9－x)2]＝26x2，即81＋81－18x＋x2＝13x2，所以2x2＋3x－27＝0，即(2x＋9)(x－3)＝0，所以x＝3m.【答案】C二、填空题7．在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为10m，则旗杆的高度为________m.【解析】由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得＝，解得AN＝20m，在3Rt△AMN中，MN＝20sin60°＝30m．故旗杆的高度为30m.【答案】308．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．【解析】∠MAB＝90°－α，∠MBC＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴∠AMB＝α－β.由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝>n，所以α与β满足mcosαcosβ>nsin(α－β)时船没有触礁危险．【答案】mcosαcosβ>nsin(α－β)9．(2014·上海一模)一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α(0°＜α＜45°)，在海面上向山顶的方向行进mm后，测得山顶C的仰角为90°－α，则该山的高度为________m(结果化简)．【解析】由题意知∠CAB＝α，∠CDB＝90°－α，...