专题16平面向量的解题技法一、本专题要特别小心：1.平面向量的几何意义应用2.平面向量与三角形的心3.向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题5.向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。二．【学习目标】1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题三．【方法总结】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积a·b＝0，尽量用坐标运算.四．【题型方法】（一）平面向量的几何意义法例1.如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,选B.练习1.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E是OD的中点，AE的延长线与CD相交于点若，，，则()A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，，为直角三角形，且，，平行行四边形ABCD的对角线相交于点O，E是OD的中点，，，∴，，，故选：D．练习2.已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且，，则①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正确的等式的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①如图可知＝＋＝＋＝－－＝－－，故①正确．②＝＋＝＋＝＋，故②正确．③＝＋＝＋＝＋(－－)＝－＋，故③正确．④＋＋＝－＋＋＝－(＋)＋＋＝－(＋)＋＋－＋＝0，故④正确．故选：D.（二）平面向量坐标法例2.如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（）A．B．C．2D．【答案】C【解析】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；根据三角形面积公式得到，可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为：故得到故得到，故最大值为：2.故答案为：C.练习1.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．E为AB的中点，得设P（cosθ，sinθ），∴＝（1，1）．再由向量＝λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）＝（+μcosθ，﹣λ+μsinθ）＝（1，1），∴，∴．由题意得．,得＝0，故λ+μ在[0，]上是增函数，当θ＝0时，即cosθ＝1，这时λ+μ取最小值为，当θ＝时，即cosθ＝0，这时λ+μ取最大值为，故λ+μ的取值范围为[，5]故选：B．练习2.已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则外接圆的方程为，设的坐标为，过点作垂直轴， ，∴，，∴，∴， ，∴，， ，∴∴，，∴，，∴，其中，，当时，有最大值，最大值为，故选：B．练习3.已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】以A为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设，,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C．练习4.如图,原点是内一点,顶点...
