第1讲弧度制与任意角的三角函数一、填空题1．若sinθ>0且sin2θ>0，则角θ的终边所在象限是________．解析由故θ终边在第一象限．答案第一象限2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________．解析设扇形的半径为R，则R2α＝2，∴R2＝1，∴R＝1，∴扇形的周长为2R＋α·R＝2＋4＝6.答案63．若点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．解析点Q的坐标为，即.答案4．若α角与角终边相同，则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是________．解析由题意，得α＝＋2kπ(k∈Z)，＝＋(k∈Z)．又∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，＝，，，.答案，，，5．已知一扇形的中心角α＝60°，所在圆的半径R＝10cm，则扇形的弧长为________cm，面积为________cm2.解析α＝60°＝，R＝10cm，l＝(cm)，S扇＝××10＝(cm2)．答案6．已知点P(tanα，cosα)在第二象限，则在[0,2π)内α的取值范围是________．解析因为tanα<0且cosα>0，又0≤α<2π，所以<α<2π.答案7．已知α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m>0)是α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.答案8．已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.解析设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以Smax＝4(cm2)．答案49．已知集合E＝{θ|cosθ0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值．解由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，a)．所以，sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－2，sinβ＝＝，cosβ＝＝，tanβ＝＝，故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ＝·＋·＋(－2)×＝－1.13.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解由题意得cosα＝，cosβ＝，α，β∈，所以sinα＝＝，sinβ＝＝，因此tanα＝7，tanβ＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1，又α＋2β∈，所以α＋2β＝.14．如图，A，B是单位圆上的两个质点，B点坐标为(1,0)，∠BOA＝60°，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作AA1⊥y轴于A1，过点B作BB1⊥y轴于B1.(1)求经过1秒后，∠BOA的弧度数；(2)求质点A，B在单位圆上的第一次相遇所用的时间；(3)记A1B1的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式，并求出y的最大值．解(1)＋2(2)设经过t秒后相遇，则有t(1＋1)＋＝2π，∴t＝，即经过秒后A，B第一次相遇．(3)y＝＝＝，∴当t＋＝kπ＋(k∈Z)，即t＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝.2
