巧用法向量妙解立体几何题平面的法向量是空间向量的一个重要概念，它在解决立体几何的许多问题中都有很好的应用.下面举例归纳，以体现用向量法解决立体几何问题的优越性.一、判断直线、平面的位置关系（1）设为平面的法向量，为直线的方向向量，要证，只需证：，即证；（2）设为平面的法向量，为直线的方向向量，要证，只需证：，即证：存在一个非零常数，使，（即也是平面的一个法向量）（3）设分别为平面的法向量，要证，只需证明，即证：存在一个非零常数，使．（4）设分别为平面的法向量，要证，只需证明，即证明：．例1如图1，已知正三棱柱，是的中点，求证：平面．证明：建立如图1所示的空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则，，．设平面的一个法向量为，则所以不妨令，则．由于，得．又平面，平面．二、求空间角（1）设为平面的法向量，为直线的方向向量，直线与平面所成的角为，则用心爱心专心1（2）设分别是二面角的两个面的法向量，则的大小就是所求二面角的平面角或其补角的大小．例2如图2，已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，，且，且．求侧面与底面所成二面角的大小．解：如图2，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则由条件知．面面，且，，，．取平面的一个法向量，设平面的一个法向量，则所以不妨令，得．，．故侧面与底面所成二面角的大小为．三、求空间距离欲求平面外一点到平面的距离，可设为平面的法向量，，则到平面的距离．用心爱心专心2例3在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点，求点到平面的距离．解：取中点，连结，，，且．平面平面，平面平面，平面，．如图3，建立空间直角坐标系，则，所以，．设为平面的一个法向量，则不妨令，则，．点到平面的距离为．用心爱心专心3
