课时跟踪检测（二十一）圆的标准方程层级一学业水平达标1．方程|x|－1＝所表示的曲线是()A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆解析：选D由题意，得即或故原方程表示两个半圆．2．方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称解析：选D易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.3．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52解析：选A直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0解析：选D圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.故选D.5．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为()A．2B．1C．D．解析：选Bx2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－＝1.6．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________________．解析：由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：x2＋(y－1)2＝17．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为＋5＝5＋.答案：5＋8．在圆(x－1)2＋(y－3)2＝10内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．解析：由题知圆心坐标为M(1,3)，半径长为.由圆的几何性质可知，过点E的最长弦AC即为点E所在的直径，则AC＝2.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD的交点，则由垂径定理可得BD＝2＝2＝2.故四边形ABCD的面积为AC·BD＝×2×2＝10.答案：109．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．解：(1)PQ中点M，kPQ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y＝x.(2)由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1，由圆过P，Q点得，解得或所以圆C的方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.10．求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．解：设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 圆与坐标轴相切，故圆心满足a－b＝0或a＋b＝0.又圆心在直线5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8.解方程组或得或∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)．∴可得半径r＝4或r＝1.∴所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.层级二应试能力达标1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是()A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不确定解析：选C (a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．2．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D由题意，知(－a，－b)为圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心．由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．2解析：选B画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x2＋(y＋1)2＝1D．x2＋(y－1)2＝1解析：选C由已知圆(x－1)2＋y2＝1得圆心C1(1,0)，半径长r1＝1.设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(a，b)，则解得所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.5．已知点A(1，－1)...
