高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第8课时 函数与方程练习题（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

函数与方程一、填空题1．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为________．解析依题意得f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在x∈(0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a＋1<0，因此f(x)在(0,2)内只有一个零点．答案12．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为________．解析依题意得，当x＞1时，lnx＞0，sgn(lnx)＝1，f(x)＝sgn(lnx)－ln2x＝1－ln2x，令1－ln2x＝0，得x＝e或x＝，结合x＞1，得x＝e；当x＝1时，lnx＝0，sgn(lnx)＝0，f(x)＝－ln2x，令－ln2x＝0，得x＝1，符合；当0＜x＜1时，lnx＜0，sgn(lnx)＝－1，f(x)＝－1－ln2x.令－1－ln2x＝0，得ln2x＝－1，此时无解．因此，函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为2.答案23．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是________．解析依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，结合图象得，当x∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8.答案84．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则函数f(x)在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点个数分别为________．解析设y＝x与y＝lnx，作图象可知f(x)在区间(0,1)内无零点，在(1，＋∞)内仅有两个零点．答案0,25．设函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－log4x的零点个数为________．解析设y＝f(x)与y＝log4x，分别画出它们的图象，得有2个交点，所以函数g(x)的零点个数为2.答案26．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．解析画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即y＝f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴0＜m＜1.答案(0,1)7．方程log2(x＋4)＝2x的根有________个．解析作函数y＝log2(x＋4)，y＝2x的图象如图所示，两图象有两个交点，且交点横坐标一正一负，∴方程有一正根和一负根．1答案28．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．解析因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1∉(2,3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)·f(3)<0，即20)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋(x>0)和f(x)的图象如图．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，∴m的取值范围是m>－e2＋2e＋1.12．已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)＞0，求2实数p的取值范围．解二次函数f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)＞0的否定是对于区间[－1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0，∴即整理得解得p≥或p≤－3，∴二次函数f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)＞0的实数p的取值范围是.3