课时分层作业(四)全称量词与存在量词(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．下列命题：①所有的菱形都是平行四边形；②每一个三角形的内角和都是180°；③有些偶数不能被5整除；④一切平行四边形的对边都平行且相等；⑤至少有一个x，使得2x＞1.其中是存在性命题的为________(填序号)．[解析]①②④是全称命题，③⑤是存在性命题．[答案]③⑤2．下列全称命题中真命题的个数为________个．①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.[解析]容易判断①②③正确，④中，当x＝y＝0时不成立．[答案]33．用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题．(1)实数的平方大于或等于0：_______；(2)存在一对实数，使3x－2y＋1≥0成立：_________.[答案](1)∀x∈R，x2≥0(2)∃x0，y0∈R,3x0－2y0＋1≥04．命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是________.【导学号：71392033】[解析]因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是“∃x＞0，x2＋x≤0”．[答案]∃x＞0，x2＋x≤05．已知命题p：∃x∈N，x2＜4，则非p为________．[解析]因为存在性命题的否定是全称命题，所以非p为∀x∈N，x2≥4.[答案]∀x∈N，x2≥46．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.[答案](－∞，3]7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]由条件知，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1
0.【导学号：71392034】[解析]根据含有一个量词的命题的否定知③错误．[答案]③二、解答题9．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)p：每一个非负数的平方都是正数；(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；(4)p：有的四边形没有外接圆；(5)p：某些梯形的对角线互相平分．[解](1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．[解]法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0.整理得a＞－3或a＞－2，即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．法二：非p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则即解得a≤－3.故命题p中，a＞－3.即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．[能力提升练]1．已知命题p：“a＝1”是“∀x>0，x＋≥2”的充要条件，命题q：∃x∈R，x2＋x－1>0.则下列结论中正确的是________．①命题“p且q”是真命题；②命题“p且非q”是真命题；③命题“非p且q”是真命题；④命题“非p或非q”是假命题．[解析]当a＝1时，x>0有x＋≥2成立，取a＝2时x>0有x＋≥2>2，故p是假命题；q是真命题，故①错误，②错误，③正确，④错误．[答案]③2．若命题“∀x≥1，x2≥a”的否定为真命题，则实数a的取值范围为________．[解析]命题“∀x≥1，x2≥a”的否定为“∃x≥1，x2＜a”为真命题，所以a∈(1，＋∞)．[答案](1，＋∞)3．给出下列三个结论：①若命题p为真命题，命题非q为真命题，则命题“p且q”为真命题；②命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”；③命题“∀x∈R,2x＞0”的否定是“∃x∈R,2x≤0”．则以上结论正确的命题为________(填序号)．[解析]非q为真，则q为假，所以p...
