二圆锥曲线与方程[A基础达标]1．若双曲线－y2＝1(a>0)的一个焦点为(3，0)，则它的离心率为()A．2B.C.D.2解析：选C.由焦点为(3，0)知，1＋a2＝9，所以a2＝8，a＝2，所以离心率e＝＝.故选C.2．设k<3，k≠0，则下列关于二次曲线－＝1与＋＝1的说法正确的是()A．它们表示的曲线一条为双曲线，另一条为椭圆B．它们有相同的顶点C．它们有相同的焦点D．它们有相同的离心率解析：选C.当00且3－k>－k，所以＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．a2＝3－k，b2＝－k.所以a2－b2＝3＝c2，与已知椭圆有相同焦点．3．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝|PF2|，则此双曲线的离心率为()A.B.C.＋1D.3解析：选C.由题知PF1⊥PF2，则得＝＋1.故选C.4．已知斜率为2的直线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，3)B．(3，＋∞)C．(1，)D.(，＋∞)解析：选B.依题意，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即>2，因此该双曲线的离心率e＝＝＝>3，选B.5．已知点P在抛物线y2＝4x上，则点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线的焦点F的距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.B.C．(1，2)D.(1，－2)解析：选B.1如图，因为点Q(2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF|等于点P到准线x＝－1的距离．过Q(2，－1)作x＝－1的垂线QH，交抛物线于点K，则点K为点P到点Q(2，－1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y＝－1代入y2＝4x得x＝，所以点P的坐标为，选B.6．双曲线－y2＝1的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为________．解析：双曲线－y2＝1的右顶点为(2，0)，渐近线方程为x±2y＝0，故点(2，0)到x±2y＝0的距离为d＝＝.答案：7．椭圆＋＝1上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足OM＝(OP＋OF)(O为坐标原点)，则|OM|＝________．解析：设F1为右焦点，因为|PF|＝6，所以|PF1|＝10－6＝4，又OM＝(OP＋OF)，所以M为PF的中点，所以OM为△FPF1的中位线，所以|OM|＝|PF1|＝2.答案：28．已知直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，椭圆C的上顶点为抛物线x2＝4y的焦点，则椭圆C的方程为________．解析：根据题意，直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，所以F(1，0)，所以c＝1.又因为椭圆C的上顶点为抛物线x2＝4y的焦点，所以b＝，b2＝3，所以a2＝b2＋c2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝19．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一内接△OAB，O为坐标原点，若OA·OB＝0，直线OA的方程为y＝2x，且|AB|＝4，求抛物线方程．解：由解得A，又OA·OB＝0，所以OA⊥OB，故直线OB的方程为y＝－x.由联立得B(8p，－4p)．因为|AB|＝4，所以＋(p＋4p)2＝16×13，解得p＝，所以抛物线方程为y2＝x.10．设椭圆＋＝1(a>2)的离心率为，斜率为k的直线l过点E(0，1)且与椭圆交于C，D两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与x轴相交于点G，且GC＝DE，求k的值．解：(1)由题可得e2＝＝＝，解得a2＝6，所以椭圆E的方程为＋＝1.2(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，由得(2＋3k2)x2＋6kx－9＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，则CD中点的横坐标为x0＝，又E(0，1)，G，则GE中点的横坐标为x0′＝－，又因为GC＝DE，所以CD，GE的中点重合，即＝－，解得k＝±.[B能力提升]11．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±B．±C．±1D.±解析：选C.由题设，得A1(－a，0)，A2(a，0)，F(c，0)．将x＝c代入双曲线方程，解得y＝±.不妨设B(c，)，C(c，－)，则kA1B＝，kA2C＝，根据题意，有·＝－1，整理得＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.12．点F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线作垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B.若2AF＝FB，则双曲线C的离心率是________．解析：由题意得...
