第四章三角函数、解三角形4.7解三角形的综合应用理1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．【知识拓展】1．三角形的面积公式：S＝(p＝)，S＝＝rp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p＝)．2．坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，]．(×)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是[0，)．(√)1．(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50mB．50mC．25mD.m答案A解析由正弦定理得＝，又 B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°答案B解析如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.3．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于()A．10nmileB.nmileC．5nmileD．5nmile答案D解析如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，∴＝，∴BC＝5.4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.答案a解析由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，又在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，速度的大小为________km/h.答案60°20解析如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.题型一求距离、高度问题例1(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m(2)(2016·三明模拟)在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是______m.答案(1)C(2)解析(1)如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－)(m)．所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．(2)如图，设塔AB高为h，在Rt△CDB中，CD＝200m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∴BC＝＝(m)．在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝120°.在△ABC中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝(m)．思维升华求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念．(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(1)一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则树的高度为________m.答案(1)30(2)30＋30解...
