第二节函数的单调性与最值【最新考纲】1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x10，则函数f(x)在区间D上是增函数．()(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(3)函数y＝|x|是R上的增函数．()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则()A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2解析：二次函数的对称轴方程为x＝－，由题意知－≥1，即a≤－2.答案：C3．下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|解析：y＝e－x在(－∞，＋∞)上是减函数，y＝x3的定义域是R，且为增函数，y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，y＝|x|在(－∞，0)上是减函数．答案：B4．(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数解析：易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数，又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数，所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数．答案：A5．函数f(x)＝，x∈[2，6]．下列命题：①函数f(x)为减函数；②函数f(x)为增函数；③函数f(x)的最大值为2；④函数f(x)的最小值为.其中为真命题的是____________________(写出所有真命题的编号．)解析：f(x)＝在区间[2，6]上是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝因此命题①③④为真命题．答案：①③④一个防范单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结．两条结论1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．2．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．四种方法1．定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．2．复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．3．导数法：利用导数研究函数的单调性．4．图象法：利用图象研究函数的单调性．一、选择题1．下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是()A．y＝log2xB．y＝xC．y＝－()xD．y＝解析：y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数；y＝x在(0，＋∞)上是增函数；y＝()x在(0，＋∞)上是减函数，y＝－()x在(0，＋∞)上是增函数；y＝在(0，＋∞)上是减函数，故y＝在(0，1)上是减函数．答案：D2．若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1，0)B．(－1，0)∪(0，1)C．(0，1)D．(0，1]解析： f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1，2]上是减函数，∴a≤1.①又g(x)＝(a＋1)1－x在[1，2]上是减函数．∴a＋1＞1，∴a＞0.②由①②知，0＜a≤1.答案：D3．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最值等于()A．－1B．1C．6D．12解析：根据新运算“⊕”...
