课时作业18曲线与方程时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．方程x2＋xy＝x表示的曲线是(C)A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析：方程x2＋xy＝x可变形为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0，因此方程x2＋xy＝x表示的曲线是两条直线．2．下列说法正确的是(B)①－＝0；②＋＝14；③|－|＝6；④|－|＝18.A．①表示无轨迹，②的轨迹是射线B．②的轨迹是椭圆，③的轨迹是双曲线C．①的轨迹是射线，④的轨迹是直线D．②④均表示无轨迹解析：－表示点(x，y)到点(－4,0)与到点(4,0)的距离的差，因此①的轨迹是连接点(－4,0)和(4,0)的线段的垂直平分线；＋表示点(x，y)到点(－4,0)与到点(4,0)的距离的和，因此②的轨迹是椭圆；③的轨迹是双曲线；④表示无轨迹．3．到点(－1，－2)的距离等于3的动点M的轨迹方程是(B)A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝3B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝9C．(x－1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y－2)2＝9解析：轨迹是以(－1，－2)为圆心，以3为半径的圆．4．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的(B)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：到两坐标轴距离相等点的轨迹如图(1)，y＝|x|的曲线如图(2)．∴“点M在曲线y＝|x|上”⇒“点M到两坐标轴距离相等”．故选B.5．已知mn≠0，则方程mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系下的图形可能是(A)1解析：方程mx＋ny2＝0即y2＝－x，表示抛物线；方程mx2＋ny2＝1(mn≠0)表示椭圆或双曲线或不表示任何图形．当m和n同号且为正时，抛物线开口向左，方程mx2＋ny2＝1(mn≠0)表示椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线开口向右，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线．6．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为(A)A.＋＝1(y≠0)B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)解析：因为|AB|＝8，|CA|＋|CB|＝18－8＝10，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a＝10,2c＝8，所以b2＝9.又因为焦点在x轴上，所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．7．已知A，B两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线MA与MB的斜率之积为－，则M点的轨迹方程是(D)A.＋＝1B.＋＝1(x≠±5)C.＋＝1D.＋＝1(x≠0)解析：设M点的坐标为(x，y)，则kMA＝，kMB＝.由题知·＝－(x≠0)，整理，得＋＝1(x≠0)．故选D.8．已知两定点F1(－3,0)，F2(3,0)，P为曲线＋＝1上任意一点，则(B)A．|PF1|＋|PF2|≥10B．|PF1|＋|PF2|≤10C．|PF1|＋|PF2|>10D．|PF1|＋|PF2|<10解析： F1(－3,0)，F2(3,0)，∴满足|PF1|＋|PF2|＝10的点在以点F1，F2为焦点，2a＝10的椭圆上，可得椭圆的方程为＋＝1. 曲线＋＝1表示的图形是以A(－5,0)，B(0,4)，C(5,0)，D(0，－4)为顶点的菱形，如下图，∴菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部，因此，曲线＋＝1上的点P必定满足|PF1＋|PF2|≤10.二、填空题9．已知方程mx2＋ny2－4＝0经过点A(1，－2)，B(－2,1)，则m＝，n＝.解析：将两点坐标代入，2得解得10．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.解析：由题意，OP＝(x，y)，OA＝(1,2)，则OP·OA＝x＋2y，由题设可得x＋2y＝4，即x＋2y－4＝0.即点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.11．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是x＝.解析：由⊙O：x2＋y2＝2，⊙O′：(x－4)2＋y2＝6知两圆相离，记切点分别为T、Q，则|PT|＝|PQ|.如图：而|PT|2＝|PO|2－2，|PQ|2＝|PO′|2－6.∴|PO|2－2＝|PO′|2－6.设P(x，y)，则x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6.即8x＝12，即x＝.三、解答题12．曲线上的点P(x，y)到定点A(0，－2)的距离和到定直线y＝－8的距离之比为12，求曲线方程．解：设d是点P到直线y＝－8的距离，则d＝|y＋8|.由题意知，曲线上的点P满足＝，由此得＝，化简整理得4x2＋3y2＝48，即所求曲线方程为＋＝1.13．半径为R的圆过原点O，圆与x轴的另一个交点为A，构造▱OABC，其中BC为圆在x轴上方的一条切线，C为切点，当圆心运动时，求B点的轨迹方程．解...
