2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第7讲二次函数与幂函数实战演练理1．(2015·四川卷)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间单调递减，那么mn的最大值为(B)A．16B．18C．25D．解析：当m＝2时，要使f(x)＝(n－8)x＋1在区间上单调递减，需n－8<0⇒n<8，于是mn<16，则mn无最大值．当m∈[0,2)时，f(x)的图象开口向下，要使f(x)在区间上单调递减，需－≤，即2n＋m≤18，又n≥0，则mn≤m＝－m2＋9m.而g(m)＝－m2＋9m在[0,2)上为增函数，∴m∈[0,2)时，g(m)2时，f(x)的图象开口向上，要使f(x)在区间上单调递减，需－≥2，即2m＋n≤12，而2m＋n≥2，所以mn≤18，当且仅当即时，取“＝”，此时满足m>2，故(mn)max＝18.故选B．2．(2015·陕西卷)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是(A)A．－1是f(x)的零点B．1是f(x)的极值点C．3是f(x)的极值D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上解析：由已知得，f′(x)＝2ax＋b，则f(x)只有一个极值点，若A，B正确，则有解得b＝－2a，c＝－3a，则f(x)＝ax2－2ax－3a.由于a为非零整数，所以f(1)＝－4a≠3，则C错．而f(2)＝－3a≠8，则D也错，与题意不符，故A，B中有一个错误，C，D都正确．若A，C，D正确，则有由①②得代入③中并整理得9a2－4a＋＝0，又a为非零整数，则9a2－4a为整数，故方程9a2－4a＋＝0无整数解，故A错．若B，C，D正确，则有解得a＝5，b＝－10，c＝8，则f(x)＝5x2－10x＋8，此时f(－1)＝23≠0，符合题意．故选A．3．(2015·福建卷)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q＝9.解析：依题意有a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，则a＋b＝p，ab＝q，由p>0，q>0可知a>0，b>0.由题意可知ab＝(－2)2＝4＝q，a－2＝2b或b－2＝2a，将a－2＝2b代入ab＝4可解得a＝4，b＝1，此时a＋b＝5，将b－2＝2a代入ab＝4可解得a＝1，b＝4，此时a＋b＝5，则p＝5，故p＋q＝9.4．(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1,1]上的最大值．(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．解析：(1)证明：由f(x)＝2＋b－，得对称轴为直线x＝－.由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1,1]上单调，所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}．1当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.当a≤－2时，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.综上，当|a|≥2时，M(a，b)≥2.(2)由M(a，b)≤2得|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，故|a＋b|≤3，|a－b|≤3，由|a|＋|b|＝得|a|＋|b|≤3.当a＝2，b＝－1时，|a|＋|b|＝3，|f(x)|＝|x2＋2x－1|，此时易知|f(x)|在[－1,1]上的最大值为2，即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值为3.2
