第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课后篇巩固提升基础达标练1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是()A.1B.2C.3D.4解析因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.答案C2.在同一平面上,把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是()A.一条线段B.一条直线C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆解析由于向量的起点确定,而向量所在直线平行于同一直线,所以随着向量模的变化,向量的终点构成的是一条直线.答案B3.如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是()A.B.C.D.解析向量相等要求模相等,方向相同,因此都是和相等的向量.答案B4.若||=||且,则四边形ABCD的形状为()A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形解析由知,AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.答案C5.(多选题)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是()A.B.C.共线D.解析如图,∵方向相同,长度相等,∴选项A正确;∵的方向相反,∴,选项B正确;∵AB∥CD,∴共线,∴选项C正确;∵方向不同,∴,∴选项D错误.答案ABC6.如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立的是()A.||=||B.共线C.共线D.共线解析依题意知,直线BD与EH不一定平行,因此不一定与共线,C项错误.答案C7.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为.解析如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.因为∠ACD=∠BCD=∠AED,所以||=||.因为△ADE∽△BDC,所以,故||=.答案8.如图所示,4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与相等的向量共有几个?(2)与平行且模为的向量共有几个?(3)与方向相同且模为3的向量共有几个?解(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身).(2)与向量平行且模为的向量共有24个.(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个.能力提升练1.(2020成都高一检测)已知a为单位向量,下列说法正确的是()A.a的长度为一个单位长度B.a与0不平行C.单位向量都相等D.a与0不是平行向量解析∵已知a为单位向量,∴a的长度为一个单位长度,故A正确;∴a与0平行,故B错误;由于单位向量的方向是任意的,故C错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D错误.答案A2.(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是()A.与相等的向量只有一个(不包括本身)B.与的模相等的向量有9个(不包括本身)C.的模为模的倍D.不共线解析A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以BD=DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以共线,故D错误.答案ABC3.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是.(填序号)解析若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.答案①③④4.如图,四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形,已知下列说法:①都是单位向量;②;③与相等的向量有3个(不包括本身);④与共线的向量有3个(不包括本身);⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.其中正确的是.(填序号)解析①由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与相等的向量是,故③错误;④与共线的向量是,故④正确;⑤正确.答案①②④⑤5.已知在四边形ABCD中,,且||=||,tanD=,判断四边形ABCD的形状.解∵在四边形ABCD中,,∴ABDC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵tanD=,∴∠B=∠D=60°.又||=||,∴△ABC是等边三角形.∴AB=BC,故四边形ABCD是菱形.素养培优练如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.(1)画出所有的向量;(2)求||的最大值与最小值.解(1)画出所有的向量如图所示.(2)由(1)所画的图知,①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值;②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值.∴||的最大值为,最小值为.
