高考数学一轮复习 课后限时集训26 正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课后限时集训26正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算建议用时：45分钟一、选择题1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于()A．2B．1C.D.D[由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.]2．(2019·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则B＝()A.B.C.D.A[由正弦定理得，sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，因为sinB≠0，所以sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A＋C)＝，所以sinB＝.已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝.]3．(2019·福建厦门一模)在△ABC中，cosB＝，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积等于()A.B.C.D.D[在△ABC中，cosB＝，b＝2，sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝acsinB＝×1×2×＝.故选D.]4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝()A.B.C.D.C[由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC．因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C.]5．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D[由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，所以＝，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]二、填空题6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB＝b，则角A＝________.[因为2asinB＝b，所以2sinAsinB＝sinB，得sinA＝，所以A＝或A＝.因为△ABC为锐角三角形，所以A＝.]7．(2019·郑州第二次质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC＋2sinCcosB＝sinA，C∈，a＝，cosB＝，则b＝________.[由正弦定理及题意可得c＋2c×＝a，即a＝c，又a＝，所以c＝，由余弦定理得b2＝6＋－＝，所以b＝.]8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．＋1[ b＝2，B＝，C＝，由正弦定理＝，得c＝＝＝2，A＝π－＝，∴sinA＝sin＝sincos＋cossin＝.则S△ABC＝bc·sinA＝×2×2×＝＋1.]三、解答题9．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×.解得c＝5.所以b＝7.(2)由cosB＝－得sinB＝.由正弦定理得sinC＝sinB＝.在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．所以cosC＝＝.所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.10．(2019·郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且满足sinB＝.(1)求sinAsinC；(2)若4cosAcosC＝3，b＝，求△ABC的周长．[解](1) △ABC的面积为S＝acsinB，sinB＝，∴4××sinB＝b2，∴ac＝.∴由正弦定理可得sinAsinC＝＝.(2) 4cosAcosC＝3，sinAsinC＝.∴cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC＝－＝－， b＝，∴ac＝＝＝＝8，∴由余弦定理可得15＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝(a＋c)2－12，解得a＋c＝3，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋.1．(2019·武汉调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝()A.B.C.D.B[因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sinA＝sin＝cosB，因为a＝b，所以由正弦定理得sinA＝sinB，所以cosB＝sinB，所以tanB＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝，故选B.]2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝()A.B．2C．3D.B[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB可得acosB＝，又acosB－c－＝0，a2＝bc，所以c＋＝，即2b2－5bc＋2c2＝0，所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又b＞c，所以＝2.故选B.]3．在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sinA＝________，BC＝________.4[...